Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de x.
\sum_{n=0}^{\infty} 4^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar os valores de x para os quais a série converge e calcular a soma da série nesses valores. A série dada é
\sum_{n=0}^{\infty} 4^{n} x^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma é uma série infinita com termo geral 4^{n}x^{n}.
  • O somatório começa em n=0.
  • Não há outras condições dadas; precisamos determinar o conjunto de x que faz a série convergir e, para esses x, achar a soma.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para ver sua estrutura básica. Note que
4^{n}x^{n}=(4x)^{n}.
Ou seja, a série é
\sum_{n=0}^{\infty} (4x)^{n}.
Aqui é muito útil identificar duas coisas típicas de uma série geométrica:
  • o primeiro termo (quando n=0) é a=(4x)^{0}=1;
  • a razão comum é r=4x.
    Não resolvemos ainda nada; apenas fizemos a identificação do formato.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre séries geométricas (passo a passo, sem pular etapas).
  • Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. No nosso caso a=1 e r=4x.
  • Primeiro calculemos a soma parcial até N, isto é S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a\,r^{n}. Esse somatório tem fórmula direta, que vamos deduzir:
    Escrevemos
S_{N}=a + ar + ar^{2}+\cdots+ar^{N}.
Multiplicando ambos os lados por (1-r) (supondo r\neq1):
(1-r)S_{N} = S_{N} - rS_{N} = a - ar^{N+1} = a(1-r^{N+1}).
Logo, isolando S_{N},
S_{N} = \frac{a\bigl(1-r^{N+1}\bigr)}{1-r}.
  • Para passar à série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty. A soma infinita existe se o limite \lim_{N\to\infty} S_{N} existe finito. Note que \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0 exatamente quando |r|<1. Nesse caso obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n} = \frac{a}{1-r} \quad\text{se }|r|<1.
Se |r|\ge 1, então r^{N+1} não tende a zero e a soma infinita não converge (ou diverge para infinito ou oscila).
  • Resumindo a condição de convergência e a fórmula: a série geométrica converge se, e só se, |r|<1, e então sua soma é a/(1-r).

Passo 4

Aplique o resultado ao nosso caso: aqui a=1 e r=4x. A condição de convergência é
|r|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |4x|<1.
Resolver |4x|<1:
|4x|<1 \Longleftrightarrow |x|<\frac{1}{4}.
Portanto a série só pode convergir para valores de x tais que |x|<\tfrac{1}{4}. Ainda precisamos verificar o que acontece nos pontos de fronteira \,x=\tfrac{1}{4} e x=-\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcule a soma quando |x|<\tfrac{1}{4}. Usando a fórmula da série geométrica com a=1 e r=4x,
\sum_{n=0}^{\infty} 4^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (4x)^{n}=\frac{1}{1-4x},
válido sempre que |4x|<1, isto é, |x|<\tfrac{1}{4}. Vou explicar claramente o que essa expressão significa: para qualquer x estritamente dentro do intervalo (-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}), os termos (4x)^{n} tendem a zero quando n\to\infty e os somatórios parciais convergem para \tfrac{1}{1-4x}.

Passo 6

Verificação dos extremos x=\tfrac{1}{4} e x=-\tfrac{1}{4}.
  • Para x=\tfrac{1}{4} temos 4x=1 e a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} 1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} 1,
cuja soma parcial é S_{N}=N+1 e tende para +\infty. Logo diverge.
  • Para x=-\tfrac{1}{4} temos 4x=-1 e a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n},
cuja soma parcial alterna entre 1 e 0 (por exemplo S_{0}=1, S_{1}=0, S_{2}=1, …), portanto não tem limite quando N\to\infty. Logo também diverge.
Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência; o conjunto é estrito |x|<\tfrac{1}{4}.

Resposta

A série converge para |x|<\tfrac{1}{4}.
\sum_{n=0}^{\infty} 4^{n}x^{n}=\frac{1}{1-4x}\quad\text{para }|x|<\tfrac{1}{4}.

Exercícios relacionados