Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar os valores de
para os quais a série converge e calcular a soma da série nesses valores. A série dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A soma é uma série infinita com termo geral
. - O somatório começa em
. - Não há outras condições dadas; precisamos determinar o conjunto de
que faz a série convergir e, para esses , achar a soma.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral para ver sua estrutura básica. Note que
Ou seja, a série é
Aqui é muito útil identificar duas coisas típicas de uma série geométrica:
- o primeiro termo (quando
) é ; - a razão comum é
.
Não resolvemos ainda nada; apenas fizemos a identificação do formato.
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre séries geométricas (passo a passo, sem pular etapas).
- Uma série geométrica infinita tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. No nosso caso
e
.
- Primeiro calculemos a soma parcial até
, isto é . Esse somatório tem fórmula direta, que vamos deduzir:
Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
(supondo
):
Logo, isolando
,
- Para passar à série infinita, tomamos o limite quando
. A soma infinita existe se o limite existe finito. Note que exatamente quando . Nesse caso obtemos
Se
, então
não tende a zero e a soma infinita não converge (ou diverge para infinito ou oscila).
- Resumindo a condição de convergência e a fórmula: a série geométrica converge se, e só se,
, e então sua soma é .
Passo 4
Aplique o resultado ao nosso caso: aqui
e
. A condição de convergência é
Resolver
:
Portanto a série só pode convergir para valores de
tais que
. Ainda precisamos verificar o que acontece nos pontos de fronteira
e
.
Passo 5
Calcule a soma quando
. Usando a fórmula da série geométrica com
e
,
válido sempre que
, isto é,
. Vou explicar claramente o que essa expressão significa: para qualquer
estritamente dentro do intervalo
, os termos
tendem a zero quando
e os somatórios parciais convergem para
.
Passo 6
Verificação dos extremos
e
.
- Para
temos e a série fica
cuja soma parcial é
e tende para
. Logo diverge.
- Para
temos e a série fica
cuja soma parcial alterna entre
e
(por exemplo
,
,
, …), portanto não tem limite quando
. Logo também diverge.
Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência; o conjunto é estrito .
Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência; o conjunto é estrito
Resposta
A série converge para
.