Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} : F(X)=a \ln (b X)
Passo 1
O enunciado dá as medidas X=\left(x \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e Y=\left(y \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right) e pede para calcular a expressão de \sigma_{\mathrm{F}} para a função
F(X)=a\ln(bX).
Informações relevantes listadas:
A variável medida que aparece na função é X (portanto \sigma_{\mathrm{s}} é a incerteza que nos interessa aqui).
Há uma medida Y no enunciado, mas ela não aparece em F(X); logo Y e \sigma_{\mathrm{y}} não influenciam \sigma_{\mathrm{F}} neste problema.
Queremos a expressão analítica da incerteza \sigma_{\mathrm{F}} em função de a, b, x e \sigma_{\mathrm{s}}.
Passo 2
Princípio básico de propagação de incertezas (explicação didática):
Quando temos uma grandeza X com incerteza pequena \sigma_{X} e uma função F(X), podemos aproximar a variação de F por uma expansão linear em torno do valor medido x:
\Delta F \approx F'(x)\,\Delta X.
Aqui \Delta X é a pequena variação de X em torno de x, e F'(x) é a derivada de F em x.
Tomando variâncias (assumindo \Delta X média zero e pequena) obtemos
Explicação das letras: \sigma_{X} é a incerteza de X (no nosso enunciado \sigma_{X}=\sigma_{\mathrm{s}}); F'(x) é a derivada de F avaliada em X=x. A hipótese necessária é que as incertezas sejam pequenas (linearização válida) e que não haja correlação com outras variáveis.
Passo 3
Calcular a derivada de F(X)=a\ln(bX) passo a passo:
Podemos usar a propriedade do logaritmo \ln(bX)=\ln b+\ln X. Como \ln b é constante em relação a X, sua derivada é zero, então
Comentário intuitivo: a constante b não aparece na incerteza — ela só adiciona uma constante à função F (via \ln b), sem alterar como F varia com pequenas mudanças em X. A incerteza em F é proporcional à incerteza relativa de X (\sigma_{\mathrm{s}}/x) multiplicada por |a|.
Passo 5
Exemplo rápido e dica para a prova:
Suponha a=2, x=10 e \sigma_{\mathrm{s}}=0,5. Então
\sigma_{F}=\frac{|2|}{10}\cdot 0,5=0,1.
Dica: em provas, calcule primeiro F'(X) simbolicamente, depois substitua X=x e multiplique por \sigma. Isso economiza tempo e reduz erros.