Dadas as medidas \mathrm{X}=\left(\mathrm{x} \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e \mathrm{Y}\left(\mathrm{y} \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right), calcular a expressão para \sigma_{\mathrm{F}} :
F(X)=a \ln (b X)

Passo 1

O enunciado dá as medidas X=\left(x \pm \sigma_{\mathrm{s}}\right) e Y=\left(y \pm \sigma_{\mathrm{y}}\right) e pede para calcular a expressão de \sigma_{\mathrm{F}} para a função
F(X)=a\ln(bX).
Informações relevantes listadas:
  • A variável medida que aparece na função é X (portanto \sigma_{\mathrm{s}} é a incerteza que nos interessa aqui).
  • Há uma medida Y no enunciado, mas ela não aparece em F(X); logo Y e \sigma_{\mathrm{y}} não influenciam \sigma_{\mathrm{F}} neste problema.
  • Queremos a expressão analítica da incerteza \sigma_{\mathrm{F}} em função de a, b, x e \sigma_{\mathrm{s}}.

Passo 2

Princípio básico de propagação de incertezas (explicação didática):
  • Quando temos uma grandeza X com incerteza pequena \sigma_{X} e uma função F(X), podemos aproximar a variação de F por uma expansão linear em torno do valor medido x:
\Delta F \approx F'(x)\,\Delta X.
Aqui \Delta X é a pequena variação de X em torno de x, e F'(x) é a derivada de F em x.
  • Tomando variâncias (assumindo \Delta X média zero e pequena) obtemos
\sigma_{F}^{2} \approx \left(F'(x)\right)^{2}\sigma_{X}^{2}.
  • Portanto a fórmula prática para a incerteza (desvio padrão) de F é
\sigma_{F} \approx \left|F'(x)\right|\,\sigma_{X}.
Explicação das letras: \sigma_{X} é a incerteza de X (no nosso enunciado \sigma_{X}=\sigma_{\mathrm{s}}); F'(x) é a derivada de F avaliada em X=x. A hipótese necessária é que as incertezas sejam pequenas (linearização válida) e que não haja correlação com outras variáveis.

Passo 3

Calcular a derivada de F(X)=a\ln(bX) passo a passo:
  • Podemos usar a propriedade do logaritmo \ln(bX)=\ln b+\ln X. Como \ln b é constante em relação a X, sua derivada é zero, então
\frac{d}{dX}\ln(bX)=\frac{d}{dX}\ln X=\frac{1}{X}.
  • Aplicando a constante a,
F'(X)=\frac{d}{dX}\bigl(a\ln(bX)\bigr)=a\cdot\frac{1}{X}=\frac{a}{X}.
(Observação: a constante b some na derivada porque apenas desloca a função por uma constante \ln b.)

Passo 4

Aplicar a fórmula de propagação com a derivada encontrada:
  • Usando \sigma_{F}=\left|F'(x)\right|\,\sigma_{X} e substituindo F'(x)=\dfrac{a}{x} e \sigma_{X}=\sigma_{\mathrm{s}}, obtemos
\sigma_{F}=\left|\frac{a}{x}\right|\,\sigma_{\mathrm{s}}.
  • Podemos reescrever de forma equivalente como
\sigma_{F}=\frac{|a|}{x}\,\sigma_{\mathrm{s}}.
Comentário intuitivo: a constante b não aparece na incerteza — ela só adiciona uma constante à função F (via \ln b), sem alterar como F varia com pequenas mudanças em X. A incerteza em F é proporcional à incerteza relativa de X ( \sigma_{\mathrm{s}}/x) multiplicada por |a|.

Passo 5

Exemplo rápido e dica para a prova:
  • Suponha a=2, x=10 e \sigma_{\mathrm{s}}=0,5. Então
\sigma_{F}=\frac{|2|}{10}\cdot 0,5=0,1.
  • Dica: em provas, calcule primeiro F'(X) simbolicamente, depois substitua X=x e multiplique por \sigma. Isso economiza tempo e reduz erros.

Resposta

\displaystyle \sigma_{F}=\left|\frac{a}{x}\right|\,\sigma_{\mathrm{s}}=\frac{|a|}{x}\,\sigma_{\mathrm{s}}

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