Dadas as ondas senoidais v_{1}(t)=8 \cos \left(250 t+15^{\circ}\right) \mathrm{V} e v_{2}(t)=6 \cos \left(250 t-45^{\circ}\right) \mathrm{V} determine quanto tempo a onda 1 está adiantada ou atrasada da onda 2

Passo 1

O enunciado fornece duas ondas senoidais de mesma frequência angular \omega, dadas por \displaystyle v_{1}(t)=8\cos\bigl(250\,t+15^\circ\bigr) V e \displaystyle v_{2}(t)=6\cos\bigl(250\,t-45^\circ\bigr) V.
Pergunta-se quanto tempo a onda 1 está adiantada ou atrasada em relação à onda 2. Para resolver vamos usar a diferença de fase \Delta\varphi e convertê-la em deslocamento de tempo via \Delta t = \Delta\varphi/\omega.

Passo 2

Extraímos as fases de cada onda: \displaystyle \phi_1 = 15^\circ \displaystyle \phi_2 = -45^\circ

Passo 3

Calculamos a diferença de fase entre as duas ondas:
\Delta\varphi = \phi_1 - \phi_2 = 15^\circ - (-45^\circ) = 60^\circ.
Em radianos:
\Delta\phi_{\text{rad}} = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\,\text{rad}.

Passo 4

A frequência angular é \omega = 250\\ \mathrm{rad/s}. O deslocamento de tempo correspondente a essa diferença de fase é
\Delta t = \frac{\Delta\phi_{\text{rad}}}{\omega} = \frac{\pi/3}{250} = \frac{\pi}{750}\\ \mathrm{s} \approx 0,00419\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Como \Delta\varphi é positivo, concluímos que a onda 1 está adiantada em relação à onda 2 pelo tempo calculado.

Resposta

A onda v_1 está adiantada em relação a v_2 em
\Delta t = \frac{\pi}{750}\,\text{s} \approx 4{,}19\\ \text{ms}.

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