1 Escreva a equação de uma onda harmônica cosenoidal, propagando-se no sentido \mathrm{z}+, com velocidade de propagação \mathrm{v}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, amplitude igual a 10 e comprimento de onda igual a 2 m . Qual é o período desta onda?

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma onda harmônica cosenoidal que se propaga no sentido +z, com velocidade de fase v=1\:\mathrm{m/s}, amplitude A=10 e comprimento de onda \lambda=2\:\mathrm{m}. Além disso, queremos determinar o período T dessa onda. Para isso, vamos usar as relações fundamentais de ondas planas:
– número de onda k = \tfrac{2\pi}{\lambda}
– pulsação \omega = v\,k
– equação de onda y(z,t) = A \cos\bigl(kz - \omega t\bigr)
– período T = \tfrac{2\pi}{\omega} = \tfrac{\lambda}{v}.

Passo 2

Calcular o número de onda k. Como \lambda=2\:\mathrm{m},
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2} = \pi\:\mathrm{rad/m}.

Passo 3

Determinar a pulsação \omega. Usando \omega = v\,k com v=1\:\mathrm{m/s} e k=\pi\:\mathrm{rad/m},
\omega = 1 \times \pi = \pi\:\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Escrever a equação da onda no formato padrão. Como a onda se propaga no sentido +z, sua forma cosenoidal é
y(z,t) = A \cos\bigl(kz - \omega t\bigr).
Substituindo A=10, k=\pi e \omega=\pi, obtemos
y(z,t) = 10 \cos\bigl(\pi\,z - \pi\,t\bigr).

Passo 5

Calcular o período T. Podemos usar
T = \frac{2\pi}{\omega}
ou ainda
T = \frac{\lambda}{v}.
Usando \omega=\pi\:\mathrm{rad/s},
T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\:\mathrm{s}.
Ou usando \lambda=2\:\mathrm{m} e v=1\:\mathrm{m/s},
T = \frac{2}{1} = 2\:\mathrm{s}.

Resposta

A equação da onda é
y(z,t) = 10 \cos\bigl(\pi\,z - \pi\,t\bigr)
e o período vale T = 2\:\mathrm{s}.

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