Dadas as retas: ®
\left{ \begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2-3 t\end{array} \quad\right.
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
A inclinação da reta s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas. As informações relevantes são:
  • A reta (r) está em forma paramétrica: x=1+2t, y=2-3t.
  • A reta (s) está na forma implícita: x+y-2=0.
    O que o problema pede: determinar a inclinação da reta s.

Passo 2

O que é “inclinação” (ou “coeficiente angular”) de uma reta?
  • Se uma reta está na forma explícita y=mx+b, o número m é a inclinação: ele representa o “subida sobre corrida” (rise/run). Ou seja, ao aumentar x em 1 unidade, y varia em m unidades.
  • Geometricamente, m=\tan(\theta), onde \theta é o ângulo que a reta faz com o eixo x.

Passo 3

Como obter a inclinação a partir da forma implícita Ax+By+C=0?
  • Isolando y: Ax+By+C=0 implica By=-Ax-C.
  • Dividindo por B (assumindo B\neq0) obtém-se
y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.
  • Logo, a inclinação é
m=-\frac{A}{B}.
Aqui A, B, C são os coeficientes da equação implícita da reta.

Passo 4

Aplicando ao caso da reta s: a equação é x+y-2=0.
  • Identificando coeficientes: A=1, B=1, C=-2.
  • Usando a fórmula m=-\dfrac{A}{B} vem
m=-\frac{1}{1}=-1.
Também é possível ver isolando y: y=-x+2, onde o coeficiente de x é -1.

Passo 5

Interpretação rápida e comparação (dica para prova): a inclinação -1 significa que a reta desce 1 unidade em y para cada 1 unidade que avança em x. Para comparação, a reta paramétrica (r) tem inclinação dada por
\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{-3}{2}=-\tfrac{3}{2},
ou seja, retas em diferentes formas pedem procedimentos distintos, mas o objetivo (achar m) é o mesmo. Força aí — deu para entender como extrair m direto da equação!

Resposta

-1

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