Imagine que você quer fazer um chá. Para fazer isso, você aquece um pouco de água em uma chaleira em seu fogão a gás na cozinha. Calcule quanta energia é necessária para aquecer uma chaleira de água e quanta energia uma reação de combustão pode fornecer a um fogão a gás.
A chaleira cheia de água é colocada no fogão a gás e você tem que esperar até a água ferver e evaporar. Nesta situação, uma corrente de calor é fornecida e um jato de vapor quente a deixa.
Configure um balanço de massa sobre a água na chaleira, configure um balanço também na combustão para a condição na que a a água estiver evaporando. Também, configure um balanço energético total sobre a chaleira na mesma condição.
Os gases combustíveis do fogão a gás são metano \left(\mathrm{CH}_{4}\right) e ar ( 21 \% de oxigênio e 79 \% de nitrogênio) a 20^{\circ} \mathrm{C}. O calor liberado será extraído dos gases. A temperatura medida do fluxo de saída, produto da combustão, é de 120^{\circ} \mathrm{C}. A pressão é constante em todo o sistema. Você pode supor por praticidade um valor de Cp de 40 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}) para os gases de entrada e saída.
A reação de queima do metano é a seguinte:
\mathrm{CH}_{4}+2 \mathrm{O}_{2}=\mathrm{CO}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
O fluxo molar de ar é de 50 \mathrm{mmol} / \mathrm{s}. Qual é o fluxo molar de oxigênio nesta situação? Qual é o fluxo molar necessário do metano (estequiométrico) nesta situação?
A entalpia de combustão do metano é de 900 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Qual é a quantidade de energia do fluxo de gás molar entrando e saindo do trocador de calor?
Você agora tem informações sobre todos os fluxos de energia do balanço energético. Com esses fluxos, forneça o fluxo de calor (em J/s) que o fogão a gás pode oferecer. Em teoria, quanto calor por segundo pode ser absorvido pelo trocador de calor se o metano estiver completamente queimado?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (lista de dados e perguntas).
  • Dados do problema (peguei estes do enunciado):
    • Ar: 21\% de \mathrm{O_2} e 79\% de \mathrm{N_2} (frações molares), temperatura de entrada 20^\circ\mathrm{C}.
    • Fluxo molar de ar: 50\\ \mathrm{mmol/s}.
    • Reação de combustão fornecida: \mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\rightarrow\mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}.
    • Entalpia de combustão (magnitude): 900\\ \mathrm{kJ/mol} (ou seja, cada mol de \mathrm{CH_4} queimado libera 900\\ \mathrm{kJ}).
    • Temperatura de saída dos produtos de combustão medida: 120^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão constante; assumir C_p=40\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} para gases de entrada e saída.
  • Perguntas a responder:
    1. Qual é o fluxo molar de \mathrm{O_2} (a partir do fluxo de ar dado)?
    2. Qual é o fluxo molar de \mathrm{CH_4} estequiométrico correspondente?
    3. Qual a quantidade de energia dos fluxos gasosos entrando e saindo do trocador (fluxos de entalpia sensível)?
    4. Qual o fluxo de calor (em J/s) que o fogão a gás pode fornecer em teoria se o metano for completamente queimado (ou seja, quanto de calor por segundo pode ser absorvido pelo trocador de calor)?
  • Observações importantes (não resolvo ainda, só listo):
    • Vou usar fração molar do oxigênio y_{O_2}=0,21.
    • Converterei o fluxo de ar 50\\ \mathrm{mmol/s} para mol/s quando necessário.
    • Para sensível: usar \Delta h = n\cdot C_p\cdot \Delta T com T em Kelvin; como precisamos apenas de diferenças, a referência de entalpia cancela.
    • A entalpia química liberada é \dot{n}_{CH_4}\times 900\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 2

Balanço de massa simples na corrente de ar → cálculo do fluxo molar de \mathrm{O_2}.
  • O fluxo molar de ar é 50\\ \mathrm{mmol/s}. Em unidades de mol/s: \dot{n}_{\text{ar}}=50\\ \mathrm{mmol/s}=0,050\\ \mathrm{mol/s}.
  • Fração molar de \mathrm{O_2} no ar: y_{O_2}=0,21. Portanto o fluxo molar de \mathrm{O_2} vindo com o ar é: \dot{n}_{O_2}=y_{O_2}\cdot\dot{n}_{\text{ar}}=0,21\cdot0,050=0,0105\\ \mathrm{mol/s}.
  • Interpretação didática: isso significa que a cada segundo chegam 0,0105 mols de oxigênio com o ar ao queimador. Em unidades mais familiares, 0,0105\\ \mathrm{mol/s}=10{,}5\\ \mathrm{mmol/s}.

Passo 3

Balanço estequiométrico da combustão → cálculo do fluxo molar estequiométrico de \mathrm{CH_4}.
  • Da reação: para cada 1 mol de \mathrm{CH_4} consumido são necessários 2 mols de \mathrm{O_2}.
  • Logo, o fluxo molar de \mathrm{CH_4} necessário (estequiométrico) é: \dot{n}_{CH_4}=\frac{\dot{n}_{O_2}}{2}=\frac{0,0105}{2}=0,00525\\ \mathrm{mol/s}.
  • Em unidades menores: 0,00525\\ \mathrm{mol/s}=5{,}25\\ \mathrm{mmol/s}.
  • Didática curta sobre estequiometria: basta usar a razão molar da equação balançada; se existe excesso ou falta de ar, o valor mudaria, mas aqui pediram o caso estequiométrico.

Passo 4

Balanço de massa da combustão (produtos) — para saber quais espécies e seus fluxos molares de saída.
  • Entradas (molares por segundo):
    • \mathrm{CH_4}: \dot{n}_{CH_4}=0,00525\\ \mathrm{mol/s}.
    • \mathrm{O_2}: \dot{n}_{O_2}=0,0105\\ \mathrm{mol/s}.
    • \mathrm{N_2} (do ar): fração molar 0,79 \dot{n}_{N_2}=0,79\cdot\dot{n}_{\text{ar}}=0,79\cdot0,050=0,0395\\ \mathrm{mol/s}.
  • Produtos (pelas estequiometrias):
    • \mathrm{CO_2}: 1 mol por mol de \mathrm{CH_4} \dot{n}_{CO_2}=\dot{n}_{CH_4}=0,00525\\ \mathrm{mol/s}.
    • \mathrm{H_2O} (como vapor): 2 mol por mol de \mathrm{CH_4} \dot{n}_{H_2O}=2\dot{n}_{CH_4}=0,0105\\ \mathrm{mol/s}.
    • \mathrm{N_2}: atravessa inerte, \dot{n}_{N_2}=0,0395\\ \mathrm{mol/s}.
  • Total molar de produtos sai (verificação de conservação molar): \dot{n}_{\text{prod}}=\dot{n}_{CO_2}+\dot{n}_{H_2O}+\dot{n}_{N_2}=0,00525+0,0105+0,0395=0,05525\\ \mathrm{mol/s},que coincide com a soma das entradas (0,050+0,00525=0,05525). Bom sinal: contagem molar conservada.

Passo 5

Balanço de massa sobre a água na chaleira (configuração do balanço).
  • Situação descrita: a chaleira cheia é aquecida até a água ferver e evaporar; há fluxo de vapor saindo.
  • Definir \dot{m}_\ell = taxa de massa de água líquida na chaleira (kg/s), \dot{m}_v = taxa de massa de vapor que sai (kg/s). Em regime transiente durante fervura: \frac{d}{dt}m_{\text{água}}=\dot{m}_{\text{entrada}}-\dot{m}_v.áNo nosso caso não há entrada de água durante a fervura, então: \frac{d}{dt}m_{\text{água}}=-\dot{m}_v.á
  • Em termos molares (se preferir): a taxa molar de evaporação \dot{n}_{\text{evap}} (mol/s) está relacionada a \dot{m}_v por \dot{m}_v=\dot{n}_{\text{evap}}\cdot M_{H_2O}, com M_{H_2O}=18{,}015\\ \mathrm{g/mol}.
  • Didática: esse balanço apenas diz que a água que some do líquido vai para a fase vapor; a magnitude de \dot{n}_{\text{evap}} será determinada pelo balanço energético (quanto calor por segundo está sendo fornecido).

Passo 6

Balanço energético total sobre a chaleira na condição de evaporação (montagem do balanço).
  • Escrever o balanço energético (por unidade de tempo, sinal convencional positivo para calor recebido pela água): \dot{Q}_{\text{gases}\to\text{chaleira}}=\dot{Q}_{\text{vaporização}}+\dot{Q}_{\text{elevação\;T}}+\dot{Q}_{\text{perdas}},çãçãonde:
    • \dot{Q}_{\text{gases}\to\text{chaleira}} é o calor entregue pelos gases quentes ao trocador/chaleira (o que queremos estimar).
    • \dot{Q}_{\text{vaporização}}=\dot{n}_{\text{evap}}\cdot\Delta H_{vap}çã (energia por segundo necessária para vaporizar a água à temperatura de ebulição).
    • \dot{Q}_{\text{elevação\;T}}çã é usado para elevar a temperatura da água inicial até 100^\circ\mathrm{C} (se ainda não estiver em ebulição); em regime de ebulição estacionário essa parcela é zero e toda a energia vai para evaporação.
    • \dot{Q}_{\text{perdas}} são perdas para o ambiente (que podemos, numa primeira ordem, desprezar se pedem o valor teórico máximo).
  • Conclusão prática: a taxa \dot{n}_{\text{evap}} será dada por \dot{n}_{\text{evap}}=\frac{\dot{Q}_{\text{gases}\to\text{chaleira}}}{\Delta H_{vap}}.Então calcular \dot{Q}_{\text{gases}\to\text{chaleira}} é fundamental.

Passo 7

Energia fornecida pela reação química por segundo (potência química do combustível).
  • Entalpia de combustão (magnitude) dada: 900\\ \mathrm{kJ/mol}=900{,}000\\ \mathrm{J/mol}.
  • Fluxo molar de \mathrm{CH_4} queimado: \dot{n}_{CH_4}=0,00525\\ \mathrm{mol/s}.
  • Fluxo de energia química liberada (potência química): \dot{Q}_{\text{comb}}=\dot{n}_{CH_4}\cdot900{,}000\\ \mathrm{J/mol} =0,00525\cdot900{,}000=4{,}725\\ \mathrm{kJ/s}=4{,}725\\ \mathrm{kW}=4725\\ \mathrm{J/s}.
  • Didática: essa é a taxa máxima de energia térmica que a combustão pode gerar por segundo (antes de perdas e antes de parte ser retida nos gases).

Passo 8

Energia (entalpia sensível) dos fluxos gasosos entrando e saindo do trocador — cálculo numérico.
  • Primeiro, determinar o fluxo molar total de gases que atravessa o trocador na região que interage termicamente: \dot{n}_{\text{total}}=\dot{n}_{\text{ar}}+\dot{n}_{CH_4}=0,050+0,00525=0,05525\\ \mathrm{mol/s}.(Verificamos antes que produtos também somam 0,05525\\ \mathrm{mol/s}.)
  • Temperaturas (em Kelvin) para usar em C_p\cdot\Delta T: T_{\text{in}}=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{out}}=120^\circ\mathrm{C}=393\\ \mathrm{K}.
  • Calor sensível total necessário para aquecer os gases de 293\\ \mathrm{K} para 393\\ \mathrm{K}: \Delta h_{\text{sensible}}=\dot{n}_{\text{total}}\cdot C_p\cdot\Delta T =0,05525\cdot40\cdot(393-293).Calcular passo a passo: \Delta T=100\\ \mathrm{K},\qquad C_p\cdot\Delta T=40\cdot100=4000\\ \mathrm{J/(mol\cdot s)}.
\Delta h_{\text{sensible}}=0,05525\cdot4000=220{,}9\\ \mathrm{J/s}\approx221\\ \mathrm{J/s}.
  • Podemos também dar as entalpias absolutas (relativas a referência 0\\ \mathrm{K} ou qualquer referência comum) dos fluxos de entrada e saída para visualizar: \dot{H}_{\text{in}}=\dot{n}_{\text{total}}\cdot C_p\cdot T_{\text{in}} =0,05525\cdot40\cdot293\approx647{,}9\\ \mathrm{J/s}\approx648\\ \mathrm{J/s},
\dot{H}_{\text{out}}=\dot{n}_{\text{total}}\cdot C_p\cdot T_{\text{out}} =0,05525\cdot40\cdot393\approx868{,}8\\ \mathrm{J/s}\approx869\\ \mathrm{J/s}.
Observação: a diferença \dot{H}_{\text{out}}-\dot{H}_{\text{in}} é exatamente os 221\\ \mathrm{J/s} calculados acima.
  • Didática: esses \dot{H} representam o fluxo de entalpia sensível (energia térmica contida nas correntes gasosas pela diferença de temperatura). A entalpia química do combustível não está incluída em \dot{H}_{\text{in}} se a referirmos apenas à energia térmica sensível — mas a reação adiciona a grande parcela química mostrada no passo anterior.

Passo 9

Disponibilidade de calor para o trocador (potência útil teórica): combinar energia química liberada e as necessidades de aquecer os gases.
  • A combustão libera por segundo: \dot{Q}_{\text{comb}}=4725\\ \mathrm{J/s}.
  • Parte dessa energia é “gasta” em elevar a temperatura dos gases de entrada para a temperatura de saída ( 293\to393\\ \mathrm{K}): isto é \Delta h_{\text{sensible}}=221\\ \mathrm{J/s}.
  • Portanto, assumindo que não há outras perdas (radiação, convecção para o ambiente, perdas pela chaminé, calor não recuperado etc.) e que todo o excedente vai para o trocador/chaleira, a potência máxima teórica entregue ao trocador é: \dot{Q}_{\text{disponível}}=\dot{Q}_{\text{comb}}-\Delta h_{\text{sensible}} =4725-220{,}9\approx4504{,}1\\ \mathrm{J/s}.í
  • Em unidades mais usuais: \dot{Q}_{\text{disponível}}\approx4504\\ \mathrm{J/s}\approx4{,}50\\ \mathrm{kW}.í
  • Interpretação física: dos 4{,}725\\ \mathrm{kW} gerados pela combustão, cerca de 0{,}221\\ \mathrm{kW} ficam “presas” para aquecer os próprios gases que saem a 120^\circ\mathrm{C}; o restante ( \approx4{,}50\\ \mathrm{kW}) é teoricamente transferível para a chaleira (ignorando perdas irreversíveis e não recuperadas).

Passo 10

Recapitulando as quantidades calculadas e observações finais (limitações e hipóteses).
  • Resultados numéricos finais (vou resumir e comentar rapidamente):
    • Fluxo molar de \mathrm{O_2}: \dot{n}_{O_2}=0,0105\\ \mathrm{mol/s} (10,5 mmol/s).
    • Fluxo molar estequiométrico de \mathrm{CH_4}: \dot{n}_{CH_4}=0,00525\\ \mathrm{mol/s} (5,25 mmol/s).
    • Entalpia sensível das correntes gasosas:
      • \dot{H}_{\text{in}}\approx648\\ \mathrm{J/s} (gases a 20^\circ\mathrm{C}).
      • \dot{H}_{\text{out}}\approx869\\ \mathrm{J/s} (produtos a 120^\circ\mathrm{C}).
      • Diferença sensível \Delta h_{\text{sensible}}\approx221\\ \mathrm{J/s}.
    • Potência química liberada pela combustão: \dot{Q}_{\text{comb}}=4725\\ \mathrm{J/s}.
    • Potência teórica disponível para o trocador (metano completamente queimado, sem outras perdas): \dot{Q}_{\text{disponível}}\approx4504\\ \mathrm{J/s}\approx4{,}50\\ \mathrm{kW}í.
  • Hipóteses que fiz (importante saber ao aplicar isto numa prova ou situação real):
    • Combustão estequiométrica, sem excesso de ar nem O2 residual.
    • Todo o combustível é queimado (conversão completa).
    • C_p constante e igual a 40\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} para todas as espécies, que é uma aproximação grosseira, mas solicitada no enunciado.
    • Desprezei perdas térmicas para o ambiente além do aquecimento dos gases (por isso o valor de 4{,}50\\ \mathrm{kW} é o máximo teórico).
  • Motivação prática: o resultado obtido (aprox. 4{,}5\\ \mathrm{kW}) é razoável para um queimador doméstico forte; na prática haverá perdas e o que chega à chaleira será menor.

Resposta

\dot{n}_{O_2}=0,0105\\ \mathrm{mol/s}
\dot{n}_{CH_4}=0,00525\\ \mathrm{mol/s}
\dot{H}_{\text{in}}\approx648\\ \mathrm{J/s}
\dot{H}_{\text{out}}\approx869\\ \mathrm{J/s}
\dot{Q}_{\text{comb}}=4725\\ \mathrm{J/s}
\dot{Q}_{\text{disponível}}\approx4504\\ \mathrm{J/s}\\ (\approx4{,}50\\ \mathrm{kW})í

Exercícios relacionados