Um fabricante mistura 3 formulações ( \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3} ) para produzir uma formulação desejada S por hora, calcule as frações de D e B em \mathrm{M}_{2} e as taxas às que as formulações devem entrar ao processo. Estruture as equações por meio dos balanços para conhecer as incógnitas
Componente \mathbf{M}_{\mathbf{1}} (% peso) \mathbf{M}_{\mathbf{2}} (%peso) \mathrm{M}_{3} (%peso) \mathrm{S}\left(\mathrm{b}_{\mathrm{m}}\right)
A 60 20 20 25
B 20 X_{b} ? - 25
C 20 - 60 25
D - X_{D} ? 20 25

Passo 1

O enunciado dá uma mistura de três formulações M_{1},M_{2},M_{3} para obter a formulação desejada S com composição por peso igual para os quatro componentes A,B,C,D (cada um com 25\%). A tabela (convertida para frações) resume as composições conhecidas:
  • M_{1}: A=0{,}60,\; B=0{,}20,\; C=0{,}20,\; D=0{,}00.
  • M_{2}: A=0{,}20,\; B=X_{b},\; C=0{,}00,\; D=X_{D} (a descobrir).
  • M_{3}: A=0{,}20,\; B=0{,}00,\; C=0{,}60,\; D=0{,}20.
  • Produto S: A=0{,}25,\; B=0{,}25,\; C=0{,}25,\; D=0{,}25.
O que o problema pede:
  • Determinar as frações de B e D em M_{2}, ou seja X_{b} e X_{D}.
  • Determinar as taxas (vazões mássicas) de entrada de M_{1},M_{2},M_{3} para obter S “por hora”.
Observação/assunção necessária (para poder dar números): como o enunciado não especifica uma vazão total absoluta de S por hora, vou assumir uma vazão total conveniente \;F_{S}=1 massa-unidade por hora (por exemplo 1\\ \text{kg/h} ou 1\\ \text{ton/h}). Isso permite calcular frações e taxas absolutas; qualquer outra vazão total obtém-se multiplicando os resultados por essa vazão.
Variáveis que vamos usar:
  • F_{1},F_{2},F_{3} = vazões de M_{1},M_{2},M_{3} (massa/unidade·h).
  • X_{b},X_{D} = frações em massa de B e D em M_{2} (em fração; depois converto para \%).

Passo 2

Princípio físico e montagem das equações (balanceamento por componente).
Explicação rápida do que é um balanço de massa: para cada componente químico, a taxa de entrada desse componente (somando todas as correntes que o contêm) deve igualar a taxa de saída do componente no produto final (assumindo sistema sem acumulação e sem reações). Em fórmulas: soma das contribuições de cada alimentação = fração no produto \times vazão total do produto.
Convertendo percentagens para frações decimais (ex.: 20\%\to 0{,}20). A equação de balanço total (todas as correntes de massa) é:
F_{1}+F_{2}+F_{3}=F_{S}=1.
Balanços por componente (cada um feito em massa/unidade·h):
A:
0{,}60F_{1}+0{,}20F_{2}+0{,}20F_{3}=0{,}25\cdot 1.
B:
0{,}20F_{1}+X_{b}F_{2}+0\cdot F_{3}=0{,}25\cdot 1.
C:
0{,}20F_{1}+0\cdot F_{2}+0{,}60F_{3}=0{,}25\cdot 1.
D:
0\cdot F_{1}+X_{D}F_{2}+0{,}20F_{3}=0{,}25\cdot 1.
Além disso, a soma das frações de M_{2} deve ser 1:
0{,}20 + X_{b} + X_{D} = 1 \quad\Rightarrow\quad X_{b}+X_{D}=0{,}80.
Agora temos as equações necessárias para resolver as incógnitas F_{1},F_{2},F_{3},X_{b},X_{D}.

Passo 3

Resolver primeiro os balanços que envolvem apenas F_{1},F_{2},F_{3} (ou seja, os balanços de A e C e o balanço total). Isso reduz o sistema para achar as vazões antes de achar X_b e X_D.
Escrevo as equações numéricas:
Total:
F_{1}+F_{2}+F_{3}=1.
A:
0{,}60F_{1}+0{,}20F_{2}+0{,}20F_{3}=0{,}25.
C:
0{,}20F_{1}+0{,}60F_{3}=0{,}25.
Começo por isolar F_{1} a partir do balanço de C. Da equação de C:
0{,}20F_{1}+0{,}60F_{3}=0{,}25.
Multiplico por 5 para trabalhar com números inteiros:
F_{1}+3F_{3}=1{,}25.
Portanto
F_{1}=1{,}25-3F_{3}. \tag{1}
Agora uso o balanço total F_{1}+F_{2}+F_{3}=1. Substituindo (1):
(1{,}25-3F_{3})+F_{2}+F_{3}=1 \quad\Rightarrow\quad F_{2}=2F_{3}-0{,}25. \tag{2}

Passo 4

Substituo (1) e (2) na equação do balanço de A:
0{,}60F_{1}+0{,}20F_{2}+0{,}20F_{3}=0{,}25.
Substituindo F_{1}=1{,}25-3F_{3} e F_{2}=2F_{3}-0{,}25:
0{,}60(1{,}25-3F_{3})+0{,}20(2F_{3}-0{,}25)+0{,}20F_{3}=0{,}25.
Faço as contas por partes:
0{,}60\cdot1{,}25=0{,}75,\qquad 0{,}60\cdot(-3F_{3})=-1{,}8F_{3},
0{,}20\cdot2F_{3}=0{,}4F_{3},\qquad 0{,}20\cdot(-0{,}25)=-0{,}05.
Somando termos constantes e os de F_{3}:
0{,}75-0{,}05 + (-1{,}8F_{3}+0{,}4F_{3}+0{,}2F_{3})=0{,}25.
Constantes: 0{,}75-0{,}05=0{,}70. Coeficiente de F_{3}: -1{,}8+0{,}4+0{,}2=-1{,}2. Assim:
0{,}70 -1{,}2F_{3}=0{,}25 \quad\Rightarrow\quad -1{,}2F_{3}=-0{,}45.
Logo
F_{3}=\frac{0{,}45}{1{,}2}=0{,}375.

Passo 5

Com F_{3}=0{,}375 volto às equações (1) e (2) para obter F_{1} e F_{2}.
Usando (1):
F_{1}=1{,}25-3\cdot 0{,}375 = 1{,}25 -1{,}125 = 0{,}125.
Usando (2):
F_{2}=2\cdot 0{,}375 -0{,}25 = 0{,}75 -0{,}25 = 0{,}50.
Verificação rápida: F_{1}+F_{2}+F_{3}=0{,}125+0{,}50+0{,}375=1 (confere) e os balanços de A e C também conferem numericamente (pode-se checar se quiser).
Interpretação prática: para produzir 1 massa-unidade de S por hora é necessário F_{1}=0{,}125 (12,5% da alimentação), F_{2}=0{,}50 (50%) e F_{3}=0{,}375 (37,5%).

Passo 6

Agora uso os balanços de B e D para obter X_{b} e X_{D}.
Balanço de B:
0{,}20F_{1}+X_{b}F_{2}=0{,}25\cdot 1.
Substituo F_{1}=0{,}125 e F_{2}=0{,}50:
0{,}20\cdot 0{,}125 + X_{b}\cdot 0{,}50 = 0{,}25.
Calculo 0{,}20\cdot0{,}125=0{,}025. Assim:
0{,}025 + 0{,}50 X_{b} = 0{,}25 \quad\Rightarrow\quad 0{,}50 X_{b} = 0{,}225.
Logo
X_{b} = \frac{0{,}225}{0{,}50} = 0{,}45 = 45\%.
Balanço de D:
X_{D}F_{2} + 0{,}20F_{3} = 0{,}25.
Substituo F_{2}=0{,}50 e F_{3}=0{,}375:
0{,}50 X_{D} + 0{,}20\cdot 0{,}375 = 0{,}25.
Calculo 0{,}20\cdot0{,}375=0{,}075. Assim:
0{,}50 X_{D} + 0{,}075 = 0{,}25 \quad\Rightarrow\quad 0{,}50 X_{D} = 0{,}175,
X_{D} = \frac{0{,}175}{0{,}50} = 0{,}35 = 35\%.
Verificação da soma em M_{2}: A=20\%,\; B=45\%,\; D=35\% soma 100\% — está consistente.

Passo 7

Resumo interpretativo (como usar esses números na prova):
  • Montar primeiro o balanço total e os balanços por componente (cada componente gera uma equação linear).
  • Converter porcentagens em frações decimais antes de montar as equações.
  • Se a vazão total do produto não for dada, pode-se assumir F_{S}=1 para trabalhar com frações (as vazões obtidas serão frações da produção total).
  • Resolver os balanços que envolvem menos incógnitas primeiro (por exemplo C aqui não depende de X_b,X_D), obter F_1,F_2,F_3, e só depois calcular as composições desconhecidas usando os balanços restantes.
  • Conferir sempre soma das frações das formulações e somatório de vazões para garantir consistência.

Resposta

X_{b}=0{,}45 (ou 45\% em M_{2})
X_{D}=0{,}35 (ou 35\% em M_{2})
F_{1}=0{,}125 (12{,}5% de S por hora)
F_{2}=0{,}50 (50% de S por hora)
F_{3}=0{,}375 (37{,}5% de S por hora)

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