Um fabricante mistura 3 formulações ( \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3} ) para produzir uma formulação desejada S por hora, calcule as frações de D e B em \mathrm{M}_{2} e as taxas às que as formulações devem entrar ao processo. Estruture as equações por meio dos balanços para conhecer as incógnitas
Componente
\mathbf{M}_{\mathbf{1}} (% peso)
\mathbf{M}_{\mathbf{2}} (%peso)
\mathrm{M}_{3} (%peso)
\mathrm{S}\left(\mathrm{b}_{\mathrm{m}}\right)
A
60
20
20
25
B
20
X_{b} ?
-
25
C
20
-
60
25
D
-
X_{D} ?
20
25
Passo 1
O enunciado dá uma mistura de três formulações M_{1},M_{2},M_{3} para obter a formulação desejada S com composição por peso igual para os quatro componentes A,B,C,D (cada um com 25\%). A tabela (convertida para frações) resume as composições conhecidas:
Determinar as frações de B e D em M_{2}, ou seja X_{b} e X_{D}.
Determinar as taxas (vazões mássicas) de entrada de M_{1},M_{2},M_{3} para obter S “por hora”.
Observação/assunção necessária (para poder dar números): como o enunciado não especifica uma vazão total absoluta de S por hora, vou assumir uma vazão total conveniente \;F_{S}=1 massa-unidade por hora (por exemplo 1\\ \text{kg/h} ou 1\\ \text{ton/h}). Isso permite calcular frações e taxas absolutas; qualquer outra vazão total obtém-se multiplicando os resultados por essa vazão.
Variáveis que vamos usar:
F_{1},F_{2},F_{3} = vazões de M_{1},M_{2},M_{3} (massa/unidade·h).
X_{b},X_{D} = frações em massa de B e D em M_{2} (em fração; depois converto para \%).
Passo 2
Princípio físico e montagem das equações (balanceamento por componente).
Explicação rápida do que é um balanço de massa: para cada componente químico, a taxa de entrada desse componente (somando todas as correntes que o contêm) deve igualar a taxa de saída do componente no produto final (assumindo sistema sem acumulação e sem reações). Em fórmulas: soma das contribuições de cada alimentação = fração no produto \times vazão total do produto.
Convertendo percentagens para frações decimais (ex.: 20\%\to 0{,}20). A equação de balanço total (todas as correntes de massa) é:
F_{1}+F_{2}+F_{3}=F_{S}=1.
Balanços por componente (cada um feito em massa/unidade·h):
Agora temos as equações necessárias para resolver as incógnitas F_{1},F_{2},F_{3},X_{b},X_{D}.
Passo 3
Resolver primeiro os balanços que envolvem apenas F_{1},F_{2},F_{3} (ou seja, os balanços de A e C e o balanço total). Isso reduz o sistema para achar as vazões antes de achar X_b e X_D.
Escrevo as equações numéricas:
Total:
F_{1}+F_{2}+F_{3}=1.
A:
0{,}60F_{1}+0{,}20F_{2}+0{,}20F_{3}=0{,}25.
C:
0{,}20F_{1}+0{,}60F_{3}=0{,}25.
Começo por isolar F_{1} a partir do balanço de C. Da equação de C:
0{,}20F_{1}+0{,}60F_{3}=0{,}25.
Multiplico por 5 para trabalhar com números inteiros:
F_{1}+3F_{3}=1{,}25.
Portanto
F_{1}=1{,}25-3F_{3}. \tag{1}
Agora uso o balanço total F_{1}+F_{2}+F_{3}=1. Substituindo (1):
Verificação rápida: F_{1}+F_{2}+F_{3}=0{,}125+0{,}50+0{,}375=1 (confere) e os balanços de A e C também conferem numericamente (pode-se checar se quiser).
Interpretação prática: para produzir 1 massa-unidade de S por hora é necessário F_{1}=0{,}125 (12,5% da alimentação), F_{2}=0{,}50 (50%) e F_{3}=0{,}375 (37,5%).
Passo 6
Agora uso os balanços de B e D para obter X_{b} e X_{D}.
Verificação da soma em M_{2}: A=20\%,\; B=45\%,\; D=35\% soma 100\% — está consistente.
Passo 7
Resumo interpretativo (como usar esses números na prova):
Montar primeiro o balanço total e os balanços por componente (cada componente gera uma equação linear).
Converter porcentagens em frações decimais antes de montar as equações.
Se a vazão total do produto não for dada, pode-se assumir F_{S}=1 para trabalhar com frações (as vazões obtidas serão frações da produção total).
Resolver os balanços que envolvem menos incógnitas primeiro (por exemplo C aqui não depende de X_b,X_D), obter F_1,F_2,F_3, e só depois calcular as composições desconhecidas usando os balanços restantes.
Conferir sempre soma das frações das formulações e somatório de vazões para garantir consistência.
Resposta
X_{b}=0{,}45 (ou 45\% em M_{2}) X_{D}=0{,}35 (ou 35\% em M_{2}) F_{1}=0{,}125 (12{,}5% de S por hora) F_{2}=0{,}50 (50% de S por hora) F_{3}=0{,}375 (37{,}5% de S por hora)