Dadas as seguintes funções,aplique o procedimento de linearizaçăo log vs log,e mostre que as novas funções sảo lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para aplicar a linearização “log vs log” e mostrar que a nova função é linear, identificando o coeficiente angular e o coeficiente linear. Informações relevantes fornecidas:
é uma constante (assumimos
para que
exista) e
(para que
exista). A pergunta que vamos responder é: qual é a forma linear obtida ao aplicar log nos dois lados, e quais são o coeficiente angular (inclinação) e o coeficiente linear (intercepto) dessa reta no plano
?
Passo 2
Relembrando propriedades dos logaritmos que usaremos (aulas rápidas de log, explicadinhas):
- Para quaisquer
e , Isso significa que o log de um produto vira soma dos logs. - Para qualquer
e número real , Ou seja, expoente vira multiplicador do log.
Observação útil: a base do log (natural, base 10, etc.) não altera a inclinação que vamos obter — só muda o valor numérico do intercepto por mudar , mas a relação entre e permanece linear com a mesma inclinação.
Passo 3
Aplique logaritmo em ambos os lados da igualdade
. Usando as propriedades acima:
Agora aplicamos a propriedade do expoente:
Portanto:
Passo 4
Para ver a forma de reta, definimos novas variáveis (isso é a ideia do “log vs log”): seja
Substituindo na igualdade obtida, temos a equação
Esta é a equação de uma reta no plano
.
Passo 5
Interpretação dos coeficientes na reta
:
- O coeficiente angular (inclinação)
é o número que multiplica . - O coeficiente linear (intercepto)
é o termo constante (valor de quando , ou seja, quando ).
Aplicando ao nosso caso
, identificamos diretamente:
- coeficiente angular
, - coeficiente linear
.
Passo 6
Comentário didático e exemplo rápido para fixar: a inclinação
indica que uma multiplicação de
por um fator faz
aumentar em
vezes o aumento de
. Por exemplo, se
for log natural e
, então em
temos
. Se aumentarmos
em
unidade (por exemplo, indo de
para
),
aumenta em
unidades (de
para
) — consistente com a inclinação
.
Passo 7
Resumo do procedimento que você pode usar na prova para funções do tipo potência
:
- Aplicar
em ambos os lados. - Usar
. - Definir
e para obter . - Concluir que a reta tem inclinação
e intercepto .
Resposta
coeficiente angular:
coeficiente linear:
coeficiente linear: