Dadas as seguintes funções,aplique o procedimento de linearizaçăo log vs log,e mostre que as novas funções sảo lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
y(x)=A x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \,y(x)=A x^{2}\, e pede para aplicar a linearização “log vs log” e mostrar que a nova função é linear, identificando o coeficiente angular e o coeficiente linear. Informações relevantes fornecidas: A é uma constante (assumimos A>0 para que \log A exista) e x>0 (para que \log x exista). A pergunta que vamos responder é: qual é a forma linear obtida ao aplicar log nos dois lados, e quais são o coeficiente angular (inclinação) e o coeficiente linear (intercepto) dessa reta no plano (\log x,\log y)?

Passo 2

Relembrando propriedades dos logaritmos que usaremos (aulas rápidas de log, explicadinhas):
  • Para quaisquer u>0 e v>0, \log(uv)=\log u+\log v.Isso significa que o log de um produto vira soma dos logs.
  • Para qualquer u>0 e número real c, \log(u^{c})=c\log u.Ou seja, expoente vira multiplicador do log.
    Observação útil: a base do log ( \log natural, base 10, etc.) não altera a inclinação que vamos obter — só muda o valor numérico do intercepto por mudar \log A, mas a relação entre \log x e \log y permanece linear com a mesma inclinação.

Passo 3

Aplique logaritmo em ambos os lados da igualdade \,y(x)=A x^{2}\,. Usando as propriedades acima:
\log y = \log(A x^{2}) = \log A + \log(x^{2}).
Agora aplicamos a propriedade do expoente:
\log(x^{2}) = 2\,\log x.
Portanto:
\log y = \log A + 2\,\log x.

Passo 4

Para ver a forma de reta, definimos novas variáveis (isso é a ideia do “log vs log”): seja
Y := \log y\qquad\text{e}\qquad X := \log x.
Substituindo na igualdade obtida, temos a equação
Y = 2\,X + \log A.
Esta é a equação de uma reta no plano (X,Y).

Passo 5

Interpretação dos coeficientes na reta Y= m X + b:
  • O coeficiente angular (inclinação) m é o número que multiplica X.
  • O coeficiente linear (intercepto) b é o termo constante (valor de Y quando X=0, ou seja, quando x=1).
Aplicando ao nosso caso Y=2X+\log A, identificamos diretamente:
  • coeficiente angular m = 2,
  • coeficiente linear b = \log A.

Passo 6

Comentário didático e exemplo rápido para fixar: a inclinação 2 indica que uma multiplicação de x por um fator faz \log y aumentar em 2 vezes o aumento de \log x. Por exemplo, se \log for log natural e A=3, então em x=1 temos Y=\log y=\log 3. Se aumentarmos X=\log x em 1 unidade (por exemplo, indo de x=1 para x=e), Y aumenta em 2 unidades (de \log 3 para \log 3 + 2) — consistente com a inclinação 2.

Passo 7

Resumo do procedimento que você pode usar na prova para funções do tipo potência y=A x^{n}:
  1. Aplicar \log em ambos os lados.
  2. Usar \log(A x^{n})=\log A + n\log x.
  3. Definir Y=\log y e X=\log x para obter Y = n X + \log A.
  4. Concluir que a reta tem inclinação n e intercepto \log A.

Resposta

coeficiente angular: 2
coeficiente linear: \log A

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