Questão 1 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x, partindo de x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}. Sua equação horária é
x(t)=7 t-2 t^{3} \quad(t \geq 0)
com x em m e t em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a) t=\sqrt{\frac{6}{7}} \mathrm{~s}
(b) t=\sqrt{\frac{15}{7}} \mathrm{~s}
(c) t=\sqrt{\frac{21}{2}} \mathrm{~s}
(d) t=\sqrt{\frac{21}{5}} \mathrm{~s}
(e) t=\sqrt{\frac{5}{21}} \mathrm{~s}
(f) t=\sqrt{\frac{2}{21}} \mathrm{~s}
(g) t=\sqrt{\frac{7}{15}} \mathrm{~s}
(h) t=\sqrt{\frac{7}{6}} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a equação horária da posição da partícula
x(t)=7t-2t^{3}\quad(t\ge 0),
com x em metros e t em segundos, e informa que a partícula parte de x=0 em t=0. A pergunta é: qual é o instante em que a partícula atinge sua posição máxima? São dadas as alternativas (a) a (h) listadas no enunciado; precisamos escolher a correta.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado devagar e com calma): para uma partícula cuja posição depende do tempo x(t), a velocidade instantânea é a derivada de x em relação a t, ou seja
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Um ponto onde a posição tem máximo ou mínimo ocorre quando a velocidade é nula ( v(t)=0) — porque aí a posição deixa de subir e pode começar a descer — mas precisamos verificar se é máximo ou mínimo olhando a segunda derivada (a aceleração). A aceleração é
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}.
Se em um ponto onde v=0 tivermos a<0, então x tem um máximo local; se a>0, tem um mínimo local. Isso é análogo ao teste da derivada segunda na matemática: quando a derivada segunda é negativa, a curva está “virando para baixo” (máximo).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso x(t), primeiro calculamos a velocidade derivando x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(7t-2t^{3}\big).
Derivando termo a termo: a derivada de 7t é 7 e a de -2t^{3} é -6t^{2} (porque usamos a regra d(t^{n})/dt = n t^{n-1} e multiplicamos pelo coeficiente). Logo
v(t)=7-6t^{2}.

Passo 4

Agora imponho v(t)=0 para encontrar os instantes candidatos a extremos:
7-6t^{2}=0.
Isolando t^{2},
6t^{2}=7 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{7}{6}.
Como o enunciado exige t\ge 0, tomamos a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{7}{6}}.

Passo 5

Verificamos se esse instante corresponde a máximo usando a segunda derivada (aceleração). Derivando v(t),
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(7-6t^{2}\big)=-12t.
Avaliando em t=\sqrt{\frac{7}{6}}>0 obtemos
a\!\left(\sqrt{\tfrac{7}{6}}\right)=-12\sqrt{\tfrac{7}{6}}<0.
Como a aceleração é negativa nesse instante, a posição tem realmente um máximo ali. Portanto o instante em que a partícula atinge sua posição máxima é t=\sqrt{\tfrac{7}{6}} s.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas no enunciado, a opção que corresponde a t=\sqrt{\tfrac{7}{6}} é a alternativa (h). Parabéns, concluímos!

Resposta

(h) \,t=\sqrt{\dfrac{7}{6}}\\ \mathrm{s}

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