Questão 1 (
ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo
, partindo de
em
. Sua equação horária é
com
em m e
em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a equação horária da posição da partícula
com
em metros e
em segundos, e informa que a partícula parte de
em
. A pergunta é: qual é o instante em que a partícula atinge sua posição máxima? São dadas as alternativas (a) a (h) listadas no enunciado; precisamos escolher a correta.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado devagar e com calma): para uma partícula cuja posição depende do tempo
, a velocidade instantânea é a derivada de
em relação a
, ou seja
Um ponto onde a posição tem máximo ou mínimo ocorre quando a velocidade é nula (
) — porque aí a posição deixa de subir e pode começar a descer — mas precisamos verificar se é máximo ou mínimo olhando a segunda derivada (a aceleração). A aceleração é
Se em um ponto onde
tivermos
, então
tem um máximo local; se
, tem um mínimo local. Isso é análogo ao teste da derivada segunda na matemática: quando a derivada segunda é negativa, a curva está “virando para baixo” (máximo).
Passo 3
Aplicando isso ao nosso
, primeiro calculamos a velocidade derivando
:
Derivando termo a termo: a derivada de
é
e a de
é
(porque usamos a regra
e multiplicamos pelo coeficiente). Logo
Passo 4
Agora imponho
para encontrar os instantes candidatos a extremos:
Isolando
,
Como o enunciado exige
, tomamos a raiz positiva:
Passo 5
Verificamos se esse instante corresponde a máximo usando a segunda derivada (aceleração). Derivando
,
Avaliando em
obtemos
Como a aceleração é negativa nesse instante, a posição tem realmente um máximo ali. Portanto o instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
s.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas no enunciado, a opção que corresponde a
é a alternativa (h). Parabéns, concluímos!
Resposta
(h)