Dadas as seguintes funções,aplique o procedimento de linearizaçăo log vs log,e mostre que as novas funções sảo lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
y(x)=A / x

Passo 1

O que o enunciado pede: aplicar a linearização “log vs log” na função y(x)=\dfrac{A}{x}, mostrar que a relação transformada é linear e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta obtida.\n
Informações dadas e suposições necessárias: A é uma constante; para fazermos logaritmo precisamos de A>0 e x>0 (assim y>0 e os logaritmos existem). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Ideia da linearização log vs log (explicando devagar): quando temos uma relação do tipo produto, quociente ou potência entre x e y, aplicar logaritmo (qualquer base) transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, e potências em multiplicações por constantes. Isso frequentemente produz uma relação da forma linear entre \log x e \log y. Para a prova: escolha natural log ( \ln) ou log base 10, tanto faz — a forma linear e a inclinação ficam equivalentes (apenas o valor numérico do intercepto muda conforme a base, mas de forma consistente). Vamos usar \ln por simplicidade.

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados de y(x)=\dfrac{A}{x}:\n
\ln y = \ln\!\left(\dfrac{A}{x}\right)\n
Usamos a propriedade \ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v. Portanto\n
\ln y = \ln A - \ln x.

Passo 4

Agora definimos as variáveis para o gráfico log vs log: seja X=\ln x e Y=\ln y. Substituindo na expressão anterior obtemos a equação de uma reta:\n
Y = -1\cdot X + \ln A.\n
Isto está na forma padrão da reta Y = mX + b. Assim podemos identificar diretamente:
  • coeficiente angular (slope) m = -1,
  • coeficiente linear (intercept) b = \ln A.\n
    Observação sobre a base do log: se em vez de \ln usarmos \log_{10} teremos \log_{10} y = \log_{10} A - \log_{10} x, então m=-1 continua e b=\log_{10} A. A inclinação permanece -1 para qualquer base.

Passo 5

Interpretação prática (como usar na prova): ao plotar \log y versus \log x você obtém uma reta com inclinação -1. Isso significa que a lei original é uma lei de potência com expoente -1, i.e. y=A x^{-1}. O intercepto no eixo \log y (quando \log x=0, isto é x=1) é \ln A, que permite estimar A do ajuste por \;A=\mathrm{e}^{b} (se usar \ln) ou A=10^{b} (se usar \log_{10}).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional na prova, mas bom para entender): tome A=2. Então para x=1,2,4 temos y=2,1,0{,}5. Usando \log_{10}:
  • \log_{10}x=(0,\;0{,}3010,\;0{,}60206),
  • \log_{10}y=(0{,}3010,\;0,\;-0{,}30103).\n
    Se calcular as diferenças \Delta Y/\Delta X entre pontos consecutivos obtém-se aproximadamente -1, confirmando a inclinação -1.

Resposta

Coeficiente angular: -1\n
Coeficiente linear: \ln A

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