Dadas as seguintes funções,aplique o procedimento de linearizaçăo log vs log,e mostre que as novas funções sảo lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
Passo 1
O que o enunciado pede: aplicar a linearização “log vs log” na função
, mostrar que a relação transformada é linear e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta obtida.\n
Informações dadas e suposições necessárias: é uma constante; para fazermos logaritmo precisamos de
e
(assim
e os logaritmos existem). Não há outros dados numéricos.
Informações dadas e suposições necessárias:
Passo 2
Ideia da linearização log vs log (explicando devagar): quando temos uma relação do tipo produto, quociente ou potência entre
e
, aplicar logaritmo (qualquer base) transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, e potências em multiplicações por constantes. Isso frequentemente produz uma relação da forma linear entre
e
. Para a prova: escolha natural log (
) ou log base 10, tanto faz — a forma linear e a inclinação ficam equivalentes (apenas o valor numérico do intercepto muda conforme a base, mas de forma consistente). Vamos usar
por simplicidade.
Passo 3
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados de
:\n
Usamos a propriedade
. Portanto\n
Passo 4
Agora definimos as variáveis para o gráfico log vs log: seja
e
. Substituindo na expressão anterior obtemos a equação de uma reta:\n
Isto está na forma padrão da reta
. Assim podemos identificar diretamente:
- coeficiente angular (slope)
, - coeficiente linear (intercept)
.\n
Observação sobre a base do log: se em vez deusarmos teremos , então continua e . A inclinação permanece para qualquer base.
Passo 5
Interpretação prática (como usar na prova): ao plotar
versus
você obtém uma reta com inclinação
. Isso significa que a lei original é uma lei de potência com expoente
, i.e.
. O intercepto no eixo
(quando
, isto é
) é
, que permite estimar
do ajuste por
(se usar
) ou
(se usar
).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional na prova, mas bom para entender): tome
. Então para
temos
. Usando
:
-
, -
.\n
Se calcular as diferençasentre pontos consecutivos obtém-se aproximadamente , confirmando a inclinação .
Resposta
Coeficiente angular:
\n
Coeficiente linear:
Coeficiente linear: