1. Dadas as seqüências \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right), defina \left(z_{n}\right) pondo z_{2 n-1}=x_{n} e z_{2 n}=y_{n}. Se \lim x_{n}=\lim y_{n}=a, prove que \lim z_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) que convergem para o mesmo limite a, e define a sequência intercalada \bigl(z_{n}\bigr) por
z_{2n-1}=x_{n},\quad z_{2n}=y_{n}.
Queremos provar que \lim z_{n}=a, ou seja, que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, sempre que n\ge N, vale
\lvert z_{n}-a\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Seja um \varepsilon>0.
Como \lim x_{n}=a, existe um índice N_{x} tal que, para todo n\ge N_{x},
\lvert x_{n}-a\rvert<\varepsilon.
De modo análogo, como \lim y_{n}=a, existe N_{y} tal que, para todo n\ge N_{y},
\lvert y_{n}-a\rvert<\varepsilon.

Passo 3

Defina
N \;=\;\max\bigl(2\,N_{x}-1,\;2\,N_{y}\bigr).
Agora seja n\ge N. Dois casos:
  1. Se n é ímpar, então n=2k-1 para algum k. Como
n\ge 2\,N_{x}-1 \quad\Longrightarrow\quad k\ge N_{x},
segue
\lvert z_{n}-a\rvert =\bigl\lvert x_{k}-a\bigr\rvert <\varepsilon.
  1. Se n é par, então n=2k para algum k. Como
n\ge 2\,N_{y} \quad\Longrightarrow\quad k\ge N_{y},
segue
\lvert z_{n}-a\rvert =\bigl\lvert y_{k}-a\bigr\rvert <\varepsilon.

Passo 4

Em ambos os casos, sempre que n\ge N obtemos \lvert z_{n}-a\rvert<\varepsilon. Isso mostra exatamente que \lim z_{n}=a.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_{n}=a.

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