Dadas as seqüências \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right), defina \left(z_{n}\right) pondo z_{2 n-1}=x_{n} e z_{2 n}=y_{n}. Se \lim x_{n}=\lim y_{n}=a, prove que \lim z_{n}=a.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) que convergem para o mesmo limite a, e define a sequência intercalada \bigl(z_{n}\bigr) por
z_{2n-1}=x_{n},\quad z_{2n}=y_{n}.
Queremos provar que \lim z_{n}=a, ou seja, que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, sempre que n\ge N, vale
\lvert z_{n}-a\rvert<\varepsilon.
Passo 2
Seja um \varepsilon>0.
Como \lim x_{n}=a, existe um índice N_{x} tal que, para todo n\ge N_{x},
\lvert x_{n}-a\rvert<\varepsilon.
De modo análogo, como \lim y_{n}=a, existe N_{y} tal que, para todo n\ge N_{y},