Nos exercícos de 1 a 13 ,calcule mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=\left(1+e^{2 t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \mathscr{L}\{f(t)\} para
f(t) = \bigl(1 + e^{2t}\bigr)^2.
O conteúdo necessário envolve a definição de transformada de Laplace, a propriedade de linearidade e a transformada de funções exponenciais.

Passo 2

Expandimos o quadrado para separar os termos:
f(t) = (1 + e^{2t})^2 = 1 + 2e^{2t} + e^{4t}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathscr{L}\{f(t)\} = \mathscr{L}\{1\} \;+\; 2\,\mathscr{L}\{e^{2t}\} \;+\; \mathscr{L}\{e^{4t}\}.

Passo 4

Usando as fórmulas padrão:
\mathscr{L}\{1\} = \frac{1}{s},\quad \mathscr{L}\{e^{2t}\} = \frac{1}{s-2},\quad \mathscr{L}\{e^{4t}\} = \frac{1}{s-4},
obtemos
\mathscr{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} \;+\; \frac{2}{s-2} \;+\; \frac{1}{s-4}.

Passo 5

O raio de convergência é determinado pelo maior valor de exponencial, aqui e^{4t}, exigindo \Re(s)>4.

Resposta

\mathscr{L}\{(1+e^{2t})^2\} = \frac{1}{s} + \frac{2}{s-2} + \frac{1}{s-4},\quad \Re(s)>4.

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