Dadas as tabelas abaixo, para obter gráficos lineares de x(m) times t(s), encontre os valores dos coeficientes angular (a=v) e linear (b=x0), suas incertezas e os valores de r, pelo Método dos Mínimos Quadrados. Indique se a relação entre as grandezas é realmente linear ou não.
t(s) x(m)
0,11 0,15
0,43 0,56
0,59 0,91
0,73 1,31
0,89 1,86

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer um gráfico linear de $ x(m) $ em função de $ t(s) $ usando o Método dos Mínimos Quadrados. Precisamos encontrar os coeficientes angular $ a $ (que representa a velocidade $ v $) e linear $ b $ (que é o $ x_0 $), calcular as incertezas desses coeficientes e o coeficiente de correlação $ r $. No final, vamos verificar se a relação entre $ x $ e $ t $ é realmente linear. Para isso, vamos precisar aplicar algumas fórmulas de regressão linear e entender um pouco sobre estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos reunir os dados que temos:
|c|c| hline t(s) & x(m) hline 0,11 & 0,15 0,43 & 0,56 0,59 & 0,91 0,73 & 1,31 0,89 & 1,86 hline
Vamos listar todas as somas que precisamos calcular:
  • $ n $: número de dados (neste caso, 5)
  • $ S_t = \sum t_i $
  • $ S_x = \sum x_i $
  • $ S_{tt} = \sum t_i^2 $
  • $ S_{tx} = \sum t_i x_i $
  • $ S_{xx} = \sum x_i^2 $

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas somas passo a passo.
|c|c|c|c| hline t(s) & x(m) & ti^2 & ti times xi hline 0,11 & 0,15 & 0,0121 & 0,0165 0,43 & 0,56 & 0,1849 & 0,2408 0,59 & 0,91 & 0,3481 & 0,5369 0,73 & 1,31 & 0,5329 & 0,9563 0,89 & 1,86 & 0,7921 & 1,6554 hline
Agora, somamos cada coluna:
St = 0,11 + 0,43 + 0,59 + 0,73 + 0,89 = 2,75 , s
Sx = 0,15 + 0,56 + 0,91 + 1,31 + 1,86 = 4,79 , m
Stt = 0,0121 + 0,1849 + 0,3481 + 0,5329 + 0,7921 = 1,8691 , s^2
Stx = 0,0165 + 0,2408 + 0,5369 + 0,9563 + 1,6554 = 3,4059 , m cdot s
Sxx = (0,15)^2 + (0,56)^2 + (0,91)^2 + (1,31)^2 + (1,86)^2 = 0,0225 + 0,3136 + 0,8281 + 1,7161 + 3,4596 = 6,3399 , m^2

Passo 4

Agora que temos todas as somas, vamos usar as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $.
A fórmula para o coeficiente angular $ a $ é:
a
E para o coeficiente linear $ b $:
b
Vamos calcular cada parte.
Primeiro, calculamos o numerador e o denominador para $ a $:
a
a = n Stx - St Sxn Stt - St^2
b
b = Sx - a Stn
Agora, substituindo na fórmula de $ a $:
a

Passo 5

Com o valor de $ a $, agora vamos calcular $ b $:
a

Passo 6

Vamos agora calcular as incertezas dos coeficientes $ a $ e $ b $. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
a
b
Calculando passo a passo:
Primeiro, vamos encontrar $ \sum x_i^2 $:
sigmaa = raiz n Stt - St^2n (n Stt - St^2) ( sum xi^2 - (Sx)^2n )
Então,
sigmab = raiz sum xi^2 - a^2 sum ti^2 n (n Stt - St^2)
Agora, calculando $ \sigma_a $:
sum xi^2
Para $ \sigma_b $:
sum xi^2 = 6,3399 , m^2
Aqui percebemos que houve um erro, pois a raiz de um número negativo não é real. Isso indica que possivelmente houve um erro nos cálculos das incertezas ou na aplicação das fórmulas. Para simplificar, vamos utilizar fórmulas alternativas para as incertezas:
As incertezas podem ser calculadas usando:
n Stt - St^2 = 5 times 1,8691 - (2,75)^2 = 9,3455 - 7,5625 = 1,783
sigmaa
Vamos calcular o erro padrão:
Primeiro, encontramos os resíduos $ e_i = x_i - a t_i - b $:
sigmaa = raiz 11,783 ( 6,3399 - (4,79)^25 ) = raiz 11,783 ( 6,3399 - 23,045 ) = raiz 11,783 (6,3399 - 4,608) = raiz 1,73191,783 approx raiz0,971 approx 0,985 , ms
Calculando para cada ponto:
  1. $ e_1 = 0,15 - 2,164 \times 0,11 - (-0,1362) = 0,15 - 0,237 - (-0,1362) = 0,15 - 0,237 + 0,1362 = 0,0492 $
  2. $ e_2 = 0,56 - 2,164 \times 0,43 - (-0,1362) = 0,56 - 0,9305 + 0,1362 = -0,2343 $
  3. $ e_3 = 0,91 - 2,164 \times 0,59 - (-0,1362) = 0,91 - 1,2788 + 0,1362 = -0,2326 $
  4. $ e_4 = 1,31 - 2,164 \times 0,73 - (-0,1362) = 1,31 - 1,5803 + 0,1362 = -0,1341 $
  5. $ e_5 = 1,86 - 2,164 \times 0,89 - (-0,1362) = 1,86 - 1,928 - (-0,1362) = 1,86 - 1,928 + 0,1362 = 0,0682 $
Agora, $ \sum e_i^2 = (0,0492)^2 + (-0,2343)^2 + (-0,2326)^2 + (-0,1341)^2 + (0,0682)^2 = 0,0024 + 0,0548 + 0,0542 + 0,0180 + 0,0047 = 0,133 $
Agora, calculamos o erro padrão:
sigmab
Agora, usando:
sigmab = raiz 6,3399 - (2,164)^2 times 1,86915 times 1,783 = raiz 6,3399 - 4,686 times 1,86918,915 = raiz 6,3399 - 8,7678,915 = raiz -2,42718,915
sigmaa = raiz sum (xi - a ti - b)^2n - 2 times raiz nn Stt - St^2

Passo 7

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação $ r $ para verificar a força da relação linear entre $ x $ e $ t $. A fórmula de $ r $ é:
r
Substituindo os valores:
x
t
r
Agora,
r = n Stx - St Sxraiz(n Stt - St^2)(n Sxx - Sx^2)

Resposta

Os coeficientes obtidos pelo Método dos Mínimos Quadrados são:
a = 2,164 pm 0,352 , ms e b = -0,136 pm 0,215 , m
O coeficiente de correlação é:
r approx 0,982
Como $ r $ está muito próximo de 1, isso indica uma forte relação linear entre $ x $ e $ t $. Portanto, a relação entre as grandezas $ x(m) $ e $ t(s) $ é realmente linear.

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