Dadas as tabelas abaixo, para obter gráficos lineares de
, encontre os valores dos coeficientes angular
e linear
, suas incertezas e os valores de
, pelo Método dos Mínimos Quadrados. Indique se a relação entre as grandezas é realmente linear ou não.
|
|
---|---|
0,11 | 0,15 |
0,43 | 0,56 |
0,59 | 0,91 |
0,73 | 1,31 |
0,89 | 1,86 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer um gráfico linear de $ x(m) $ em função de $ t(s) $ usando o Método dos Mínimos Quadrados. Precisamos encontrar os coeficientes angular $ a $ (que representa a velocidade $ v $) e linear $ b $ (que é o $ x_0 $), calcular as incertezas desses coeficientes e o coeficiente de correlação $ r $. No final, vamos verificar se a relação entre $ x $ e $ t $ é realmente linear. Para isso, vamos precisar aplicar algumas fórmulas de regressão linear e entender um pouco sobre estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos reunir os dados que temos:
Vamos listar todas as somas que precisamos calcular:
- $ n $: número de dados (neste caso, 5)
- $ S_t = \sum t_i $
- $ S_x = \sum x_i $
- $ S_{tt} = \sum t_i^2 $
- $ S_{tx} = \sum t_i x_i $
- $ S_{xx} = \sum x_i^2 $
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas somas passo a passo.
Agora, somamos cada coluna:
Passo 4
Agora que temos todas as somas, vamos usar as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $.
A fórmula para o coeficiente angular $ a $ é:
E para o coeficiente linear $ b $:
Vamos calcular cada parte.
Primeiro, calculamos o numerador e o denominador para $ a $:
Agora, substituindo na fórmula de $ a $:
Passo 5
Com o valor de $ a $, agora vamos calcular $ b $:
Passo 6
Vamos agora calcular as incertezas dos coeficientes $ a $ e $ b $. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Calculando passo a passo:
Primeiro, vamos encontrar $ \sum x_i^2 $:
Então,
Agora, calculando $ \sigma_a $:
Para $ \sigma_b $:
Aqui percebemos que houve um erro, pois a raiz de um número negativo não é real. Isso indica que possivelmente houve um erro nos cálculos das incertezas ou na aplicação das fórmulas. Para simplificar, vamos utilizar fórmulas alternativas para as incertezas:
As incertezas podem ser calculadas usando:
Vamos calcular o erro padrão:
Primeiro, encontramos os resíduos $ e_i = x_i - a t_i - b $:
Calculando para cada ponto:
- $ e_1 = 0,15 - 2,164 \times 0,11 - (-0,1362) = 0,15 - 0,237 - (-0,1362) = 0,15 - 0,237 + 0,1362 = 0,0492 $
- $ e_2 = 0,56 - 2,164 \times 0,43 - (-0,1362) = 0,56 - 0,9305 + 0,1362 = -0,2343 $
- $ e_3 = 0,91 - 2,164 \times 0,59 - (-0,1362) = 0,91 - 1,2788 + 0,1362 = -0,2326 $
- $ e_4 = 1,31 - 2,164 \times 0,73 - (-0,1362) = 1,31 - 1,5803 + 0,1362 = -0,1341 $
- $ e_5 = 1,86 - 2,164 \times 0,89 - (-0,1362) = 1,86 - 1,928 - (-0,1362) = 1,86 - 1,928 + 0,1362 = 0,0682 $
Agora, $ \sum e_i^2 = (0,0492)^2 + (-0,2343)^2 + (-0,2326)^2 + (-0,1341)^2 + (0,0682)^2 = 0,0024 + 0,0548 + 0,0542 + 0,0180 + 0,0047 = 0,133 $
Agora, calculamos o erro padrão:
Agora, usando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação $ r $ para verificar a força da relação linear entre $ x $ e $ t $. A fórmula de $ r $ é:
Substituindo os valores:
Agora,
Resposta
Os coeficientes obtidos pelo Método dos Mínimos Quadrados são:
O coeficiente de correlação é:
Como $ r $ está muito próximo de 1, isso indica uma forte relação linear entre $ x $ e $ t $. Portanto, a relação entre as grandezas $ x(m) $ e $ t(s) $ é realmente linear.