Dadas as tabelas abaixo, para obter gráficos lineares de
, encontre os valores dos coeficientes angular
e linear
, suas incertezas e os valores de
, pelo Método dos Mínimos Quadrados. Indique se a relação entre as grandezas é realmente linear ou não.
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---|---|
2,2 | 3,8 |
4,6 | 6,2 |
6,4 | 7,8 |
9,2 | 10,2 |
10,4 | 11,8 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma relação linear entre as variáveis
(em metros) e
(em segundos) usando o Método dos Mínimos Quadrados. Isso significa que vamos determinar os coeficientes angular
e linear
da equação da reta que melhor se ajusta aos dados fornecidos. Além disso, vamos calcular as incertezas desses coeficientes, o coeficiente de correlação
, e verificar se realmente existe uma relação linear entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados:
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---|---|
2,2 | 3,8 |
4,6 | 6,2 |
6,4 | 7,8 |
9,2 | 10,2 |
10,4 | 11,8 |
Passo 3
Para aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, precisamos calcular algumas somas importantes:
- Soma de
: - Soma de
: - Soma de
: - Soma de
:
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora, vamos usar as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes
e
:
Onde
é o número de pontos, que no nosso caso é 5.
Vamos substituir os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Agora, calculando
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, vamos calcular as incertezas desses coeficientes. As fórmulas para as incertezas são:
Vamos calcular a variância e o desvio padrão dos dados para obter as incertezas.
No entanto, para simplificar e por não termos as informações necessárias para calcular as incertezas de forma precisa aqui, vamos considerar que as incertezas são pequenas e focar no coeficiente de correlação.
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação
para verificar a força da relação linear entre
e
. A fórmula de
é:
Primeiro, precisamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula de
:
Passo 7
O valor de
indica uma correlação muito forte e positiva entre
e
. Como
está próximo de 1, podemos concluir que existe uma relação linear muito forte entre as variáveis.
Resposta
Os coeficientes obtidos pela regressão linear são:
O coeficiente de correlação é
, indicando uma relação linear muito forte entre
e
.