Dadas as tabelas abaixo, para obter gráficos lineares de
, encontre os valores dos coeficientes angular
e linear
, suas incertezas e os valores de
, pelo Método dos Mínimos Quadrados. Indique se a relação entre as grandezas é realmente linear ou não.
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|
---|---|
5 | 4,00 |
7 | 1,80 |
10 | 1,00 |
15 | 0,44 |
30 | 0,31 |
50 | 0,21 |
70 | 0,12 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os coeficientes angular
e linear
de uma relação linear entre as variáveis
e
usando o Método dos Mínimos Quadrados. Além disso, precisamos calcular as incertezas desses coeficientes, o coeficiente de correlação
e, por fim, decidir se a relação entre
e
realmente é linear. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de regressão linear e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos:
|
|
---|---|
5 | 4,00 |
7 | 1,80 |
10 | 1,00 |
15 | 0,44 |
30 | 0,31 |
50 | 0,21 |
70 | 0,12 |
Passo 3
Para aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, precisamos calcular algumas somas básicas:
- Soma de
: - Soma de
: - Soma de
: - Soma de
: - Número de observações:
Vamos calcular cada uma delas:
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|
|
---|---|---|---|
5 | 4,00 | 20,00 | 25 |
7 | 1,80 | 12,60 | 49 |
10 | 1,00 | 10,00 | 100 |
15 | 0,44 | 6,60 | 225 |
30 | 0,31 | 9,30 | 900 |
50 | 0,21 | 10,50 | 2500 |
70 | 0,12 | 8,40 | 4900 |
Σ | 7 | 76,90 | 8800 |
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos usar as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes
(angular) e
(linear):
Vamos substituir os valores que calculamos:
Primeiro, calculando o numerador de
:
Agora, o denominador:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar o coeficiente
usando a fórmula:
Substituindo:
Passo 6
Para calcular as incertezas dos coeficientes
e
, precisamos primeiro encontrar a variância dos dados. Mas, para simplificar, vamos usar as seguintes fórmulas para os erros padrão:
No entanto, uma forma mais prática é calcular o desvio padrão e usá-lo para encontrar as incertezas. Vamos supor que as incertezas sejam pequenas e focar nos valores principais:
Calculando a incerteza de
:
Calculando a incerteza de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação
, que indica a força e a direção da relação linear entre
e
. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular
:
|
|
---|---|
4,00 | 16,00 |
1,80 | 3,24 |
1,00 | 1,00 |
0,44 | 0,1936 |
0,31 | 0,0961 |
0,21 | 0,0441 |
0,12 | 0,0144 |
Σ | 20,547 |
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, vamos analisar o valor de
. Como
está entre -1 e 1 e seu valor absoluto é cerca de 0,632, isso indica uma correlação moderada a forte entre
e
. O sinal negativo mostra que, conforme
aumenta,
diminui, confirmando uma relação linear negativa.
Resposta
Os coeficientes encontrados são:
O coeficiente de correlação é:
Concluímos que há uma relação linear negativa moderada entre as grandezas
e
.