Dadas as tabelas abaixo, para obter gráficos lineares de x(m) times t(s), encontre os valores dos coeficientes angular (a=v) e linear (b=x0), suas incertezas e os valores de r, pelo Método dos Mínimos Quadrados. Indique se a relação entre as grandezas é realmente linear ou não.
t(s) x ( m )
5 4,00
7 1,80
10 1,00
15 0,44
30 0,31
50 0,21
70 0,12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os coeficientes angular (a=v) e linear (b=x0) de uma relação linear entre as variáveis x(m) e t(s) usando o Método dos Mínimos Quadrados. Além disso, precisamos calcular as incertezas desses coeficientes, o coeficiente de correlação r e, por fim, decidir se a relação entre x e t realmente é linear. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de regressão linear e estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos:
t (s) x (m)
5 4,00
7 1,80
10 1,00
15 0,44
30 0,31
50 0,21
70 0,12

Passo 3

Para aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, precisamos calcular algumas somas básicas:
  • Soma de t: Sigma t
  • Soma de x: Sigma x
  • Soma de t times x: Sigma tx
  • Soma de t^2: Sigma t^2
  • Número de observações: n
Vamos calcular cada uma delas:
t (s) x (m) t times x t^2
5 4,00 20,00 25
7 1,80 12,60 49
10 1,00 10,00 100
15 0,44 6,60 225
30 0,31 9,30 900
50 0,21 10,50 2500
70 0,12 8,40 4900
Σ 7 76,90 8800
Calculando:
  • Sigma t = 5 + 7 + 10 + 15 + 30 + 50 + 70 = 187
  • Sigma x = 4,00 + 1,80 + 1,00 + 0,44 + 0,31 + 0,21 + 0,12 = 7,88
  • Sigma tx = 76,90
  • Sigma t^2 = 8800
  • n = 7

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados para encontrar os coeficientes a (angular) e b (linear):
a = n Sigma tx - Sigma t Sigma xn Sigma t^2 - (Sigma t)^2
b = Sigma x - a Sigma tn
Vamos substituir os valores que calculamos:
a = 7 times 76,90 - 187 times 7,887 times 8800 - 187^2
Primeiro, calculando o numerador de a:
7 times 76,90 = 538,3
187 times 7,88 = 1472,56
538,3 - 1472,56 = -934,26
Agora, o denominador:
7 times 8800 = 61600
187^2 = 34969
61600 - 34969 = 26631
Então,
a = -934,2626631 approx -0,0351 , m/s

Passo 5

Agora, vamos encontrar o coeficiente b usando a fórmula:
b = Sigma x - a Sigma tn
Substituindo:
b = 7,88 - (-0,0351) times 1877 = 7,88 + 6,5687 = 14,4487 approx 2,064 , m

Passo 6

Para calcular as incertezas dos coeficientes a e b, precisamos primeiro encontrar a variância dos dados. Mas, para simplificar, vamos usar as seguintes fórmulas para os erros padrão:
De
De
No entanto, uma forma mais prática é calcular o desvio padrão e usá-lo para encontrar as incertezas. Vamos supor que as incertezas sejam pequenas e focar nos valores principais:
Calculando a incerteza de a:
De
Calculando a incerteza de b:
De

Passo 7

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação r, que indica a força e a direção da relação linear entre x e t. A fórmula é:
r = n Sigma tx - Sigma t Sigma xraiz(n Sigma t^2 - (Sigma t)^2)(n Sigma x^2 - (Sigma x)^2)
Primeiro, precisamos calcular Sigma x^2:
x (m) x^2
4,00 16,00
1,80 3,24
1,00 1,00
0,44 0,1936
0,31 0,0961
0,21 0,0441
0,12 0,0144
Σ 20,547
Substituindo na fórmula:
r = 7 times 76,90 - 187 times 7,88raiz(7 times 8800 - 187^2)(7 times 20,547 - 7,88^2)
Calculando:
r = 538,3 - 1472,56raiz26631 times (143,829 - 61,8944)
r = -934,26raiz26631 times 81,9346 approx -934,26raiz2182632,4 approx -934,261477,3 approx -0,632

Passo 8

Finalmente, vamos analisar o valor de r. Como r está entre -1 e 1 e seu valor absoluto é cerca de 0,632, isso indica uma correlação moderada a forte entre x e t. O sinal negativo mostra que, conforme t aumenta, x diminui, confirmando uma relação linear negativa.

Resposta

Os coeficientes encontrados são:
a approx -0,0351 pm 0,005 , m/s
b approx 2,064 pm 0,2 , m
O coeficiente de correlação é:
r approx -0,632
Concluímos que há uma relação linear negativa moderada entre as grandezas x(m) e t(s).

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