Dadas as tensões desbalanceadas a seguir, determine suas componentes simétricas (componentes de ordem zero, negativa e positiva) e represente-as em diagramas fasoriais. Descreva o desenvolvimento da questão com suas palavras. (3,5 pontos)
[l Va Vb Vc ]=[c 400 ang<=-35^circ 300 ang<= 45^circ 450 ang<= 100^circ ] Vr m s

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três tensões de fase desbalanceadas
Va = 400ang<= -35^circ Vb = 300ang<= 45^circ Vc = 450ang<= 100^circ
e que a gente precisa achar as componentes simétricas de ordem zero ( V0), positiva ( V1) e negativa ( V2), além de mostrá-las num diagrama fasorial. Isso faz parte de “Componentes Simétricas” em eletricidade de máquinas e sistemas polifásicos.
Para resolver, vamos precisar:
  1. Conhecer o operador de fase a = e^j120^circ e suas potências;
  2. Saber as fórmulas das componentes simétricas:
V0 &= tfrac13,(Va + Vb + Vc) V1 &= tfrac13,(Va + a,Vb + a^2,Vc) V2 &= tfrac13,(Va + a^2,Vb + a,Vc)

Passo 2

Primeiro, bora relembrar por que essas fórmulas funcionam. A ideia é decompor o sistema desbalanceado em três sistemas balanceados:
  • Ordem zero: todas as fases iguais, sem defasagem
  • Ordem positiva: defasagens de +120° (a sequência normal a→b→c)
  • Ordem negativa: defasagens de –120° (sequência invertida a→c→b)
O operador de fase vale
a = e^j120^circ = -tfrac12 + jtfracraiz32, a^2 = e^j240^circ = -tfrac12 - jtfracraiz32,
e ele satisfaz 1 + a + a^2 = 0.

Passo 3

Calcular numericamente a e a^2 (apenas pra relembrar):
a = -0.5 + j,0.8660, a^2 = -0.5 - j,0.8660

Passo 4

Agora, componente de ordem zero:
V0 = Va + Vb + Vc3
Convertemos cada fasor a retangular e somamos:
Va &= 327.66 - j,229.43, Vb &= 212.13 + j,212.13, Vc &= -78.14 + j,443.16,
então
V0 = (327.66 + 212.13 -78.14) + j(-229.43+212.13+443.16)3 approx 153.88 + j,141.95,
o que em forma polar dá
V0 approx 209.4ang<= 42.1^circ

Passo 5

Componente de ordem positiva:
V1 = Va + a,Vb + a^2,Vc3
Calculando termo a termo:
a,Vb &approx -289.82 + j,77.69, a^2,Vc &approx 422.88 - j,153.89,
logo
V1 = (327.66 -289.82 +422.88) + j(-229.43+77.69 -153.89)3 approx 153.57 - j,101.88
ou em polar
V1 approx 184.4ang<= -33.7^circ

Passo 6

Componente de ordem negativa:
V2 = Va + a^2,Vb + a,Vc3
Calculando:
a^2,Vb &approx ;77.69 - j,289.82, a,Vc &approx -344.74 - j,289.27,
então
V2 = (327.66 +77.69 -344.74) + j(-229.43 -289.82 -289.27)3 approx 20.20 - j,269.51
ou
V2 approx 270.3ang<= -85.7^circ

Passo 7

Pra desenhar o diagrama fasorial, imagine três conjuntos de vetores:
  • O vetor V0 (todas as fases iguais, sobreposto).
  • O triângulo positivo V1 com ângulos –33.7°, +86.3° (b) e +206.3° ©.
  • O triângulo negativo V2 com ângulos –85.7°, +34.3° (b) e +154.3° ©.
    Cada conjunto forma um triângulo equilátero (em fase ou invertido) escalonado pelo ângulo e módulo que achamos.

Resposta

boxed V0 &approx 209.4ang<= 42.1^circ V, V1 &approx 184.4ang<= -33.7^circ V, V2 &approx 270.3ang<= -85.7^circ V

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