Uma linha trifásica de 4,16 kV (tensão de linha na carga) alimenta um edifício, com uma carga correspondente a uma carga em Y, cada fase com um resistor de 150 Omega em paralelo com uma reatância indutiva de 225 Omega (a frequência da rede é de 60 Hz ). A linha de transmissão que alimenta o edifício tem 8 km de comprimento e uma impedância por fase de 1,06+j0,49 por quilômetro. Qual deve ser a tensão gerada pela companhia de energia elétrica para que a tensão que alimenta o edifício seja realmente 4,16kVrms? E qual a porcentagem da potência perdida na rede em relação à potência fornecida pela fonte a este sistema? Descreva cada passo da análise com suas palavras no decorrer da resolução. (3,0 pontos)

Passo 1

Beleza, o que rolou aqui? Temos uma linha trifásica que leva 4,16 kV (tensão de linha) até um prédio com carga em Y. Cada fase da carga é um resistor de 150 Ω em paralelo com uma reatância indutiva de 225 Ω. A linha tem 8 km, e por fase dá 1,06 + j0,49 Ω/km.
Conteúdo: circuitos trifásicos em regime permanente, conversão entre tensões de linha e fase, cálculo de impedância equivalente, análise fasorial e potência em circuitos AC.
O que a gente vai precisar:
  1. Calcular a impedância por fase da linha e da carga.
  2. Usar conversão linha–fase (Vfase=Vlinha/√3).
  3. Montar a malha por fase e achar a corrente fasorial.
  4. Calcular a queda de tensão na linha e somar vetorialmente para achar a tensão gerada.
  5. Calcular perdas na linha versus potência fornecida.

Passo 2

Primeiro, a impedância da linha por fase:
Zrm linha = (1,06 + j0,49),Omega/km ,times,8,km = 8,48 + j3,92;Omega
Agora a impedância da carga em Y, cada fase é um R‖jX com R=150 Ω e X=225 Ω. Pra paralelo a gente usa:
Zrm carga = R,(jX)R + jX = 150;(j,225)150 + j,225
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Zrm carga = j33750,(150 - j225)150^2+225^2 = 7,59375times10^6 + j,5,0625times10^673125 approx 103,9 + j,69,2;Omega

Passo 3

A tensão de fase na carga (porque é Y) é
Vrm f, carga=4,16 kVraiz3approx2401,5;V
A impedância total por fase (linha + carga) é
$$Z_{\rm tot}=Z_{\rm linha}+Z_{\rm carga}=(8{,}48+j3{,}92)+(103{,}9+j69{,}2)
=112{,}38 + j73{,}12;\Omega. Zrm tot=Zrm linha+Zrm carga=(8,48+j3,92)+(103,9+j69,2) =112,38 + j73,12;OmegaãéI_{\rm f}=\frac{V_{\rm f,carga}}{Z_{\rm tot}}
=\frac{2401,5\angle0°}{134{,}1\angle32{,}9°}
\approx17{,}91\angle-32{,}9°;A.$$

Passo 4

Agora a queda de tensão na linha:
$$V_{\rm drop}=I_{\rm f};Z_{\rm linha}
=17{,}91\angle-32{,}9°;\times;9{,}48\angle25°\approx169{,}8\angle-7{,}9°;V. Vrm drop=Irm f;Zrm linha =17,91ang<=-32,9°;times;9,48ang<=25°approx169,8ang<=-7,9°;VãéV_{\rm f, fonte}=2401,5\angle0°+169,8\angle-7,9°
\approx2570,4\angle-0,52°;V. Vrm f, fonte=2401,5ang<=0°+169,8ang<=-7,9° approx2570,4ang<=-0,52°;VãV_{\rm L, fonte}=V_{\rm f, fonte},\sqrt3
\approx2570,4\times1,732\approx4452;V
;\approx4{,}45;kV.$$

Passo 5

Rolaram perdas na linha e potência total.
– Perda em cada fase na resistência da linha:
$$P_{\rm loss, fase}=I_{\rm f}^2,\Re(Z_{\rm linha})
=(17{,}91)^2\times8{,}48\approx2722{,}5;W. Prm loss, fase=Irm f^2,Re(Zrm linha) =(17,91)^2times8,48approx2722,5;WêP_{\rm loss, total}=3\times2722{,}5\approx8167{,}5;W.$$
– Potência ativa fornecida pela fonte:
Prm loss, total=3times2722,5approx8167,5;W

Passo 6

Agora a porcentagem de perda:
$$%;perda=\frac{P_{\rm loss, total}}{P_{\rm in, total}}\times100%
=\frac{8167{,}5}{116631}\times100%\approx7{,}0%.$$

Resposta

  1. A companhia precisa gerar cerca de 4,45 kV (linha–linha) para garantir 4,16 kV no prédio.
  2. A perda de potência na rede é aproximadamente 7,0 % da potência fornecida pela fonte.

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