Dadas as transformações T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(x-y, 2 x) e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com S(x, y)=(3 y, x+y), encontre a matriz da transformação composta (S \circ T).

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação composta (S\circ T), onde T e S são aplicações lineares de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2. Para resolver, vamos (a) encontrar as matrizes de T e de S na base canônica e (b) usar que a composição corresponde ao produto matricial, isto é,
[\,S\circ T\,] \;=\; [S]\,[T].

Passo 2

Vamos achar a matriz de T. Sabemos que
T(x,y) = (\,x - y,\;2x\,).
Aplicando em \mathbf e_1=(1,0) e em \mathbf e_2=(0,1):
T(1,0) = (1,2), \quad T(0,1) = (-1,0).
Logo, na base canônica,
[T] \;=\; \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora achamos a matriz de S. Como
S(x,y) = (\,3y,\;x+y\,),
temos
S(1,0) = (0,1), \quad S(0,1) = (3,1).
Portanto,
[S] \;=\; \begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para a composição, multiplicamos as matrizes em ordem:
[\,S\circ T\,] \;=\; [S]\,[T] =\begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 0 \end{pmatrix}.
Fazendo o produto:
[\,S\circ T\,] =\begin{pmatrix} 0\cdot1 + 3\cdot2 & 0\cdot(-1)+3\cdot0\\[6pt] 1\cdot1 + 1\cdot2 & 1\cdot(-1)+1\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 0\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz de (S\circ T) na base canônica é
\begin{pmatrix} 6 & 0\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.

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