Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 y-4 z). Encontre a matriz [T] da transformação em relação às bases canônicas.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
definida por
T(x,y,z) = (2x - y + z,\;3y - 4z).
Pede-se a matriz de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2. Para isso, vamos usar que a j-ésima coluna de [T] é T(e_j) expressa na base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Recordando a construção da matriz de uma transformação linear nas bases canônicas:
seja e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1) a base canônica de \mathbb{R}^3. Então
[T] = \bigl[\,T(e_1)\;\;T(e_2)\;\;T(e_3)\bigr],
onde cada T(e_j) é um vetor em \mathbb{R}^2 e forma a coluna j da matriz.

Passo 3

Calculamos as imagens dos vetores da base de \mathbb{R}^3:
T(e_1) = T(1,0,0) = (2\cdot1 - 0 + 0,\;3\cdot0 - 4\cdot0) = (2,0),
T(e_2) = T(0,1,0) = (2\cdot0 - 1 + 0,\;3\cdot1 - 4\cdot0) = (-1,3),
T(e_3) = T(0,0,1) = (2\cdot0 - 0 + 1,\;3\cdot0 - 4\cdot1) = (1,-4).

Passo 4

Agora montamos a matriz colocando essas imagens como colunas na ordem e_1,e_2,e_3:
[T] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 3 & -4 \end{pmatrix}.

Resposta

[T] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\[6pt] 0 & 3 & -4 \end{pmatrix}.]

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