Dadas variáveis aleatórias X e Y com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
W=max X, Y

Passo 1

Beleza, exercício em mãos: temos duas variáveis aleatórias contínuas f(x, y)=e^-(x+y), x>0,;y>0 e com densidade conjunta
e queremos achar a densidade de .
Conteúdo: estamos lidando com transformações de variáveis aleatórias, mais especificamente com a distribuição do máximo. Para resolver, vamos usar a noção de função de distribuição acumulada (CDF) e, depois, derivar para obter a densidade (PDF). Também vamos explorar o fato de que e são independentes (dado o produto da densidade).

Passo 2

Primeiro, a gente monta a CDF de FW(w) = Pl(W <= wr) = Pl(maxX,Y <= wr) :
FW(w) = P(X <= w,;Y <= w)
P(X <= w, Y <= w) = P(X <= w);P(Y <= w) ” só acontece se os dois forem ≤ P(X <= w) = 1 - e^-w, w>0 . Então
FW(w) = l(1 - e^-wr),l(1 - e^-wr) = (1 - e^-w)^2, w>0
Como e são independentes (você vê que fatora), temos
E cada variável é exponencial com parâmetro 1, cuja CDF é
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Passo 3

Agora a gente tira a derivada de fW(w) = ddwFW(w) = ddwl[(1 - e^-w)^2r] para achar a densidade ddw(1 - e^-w)^2 = 2(1 - e^-w)cdotddw(1 - e^-w) = 2(1 - e^-w)cdot e^-w :
fW(w) = 2,e^-w,l(1 - e^-wr), w>0
Usando a regra da cadeia:
Então

Resposta

boxedfW(w) = 2,e^-w,l(1 - e^-wr), w>0

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