Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
Passo 1
Beleza, exercício em mãos: temos duas variáveis aleatórias contínuas
e
com densidade conjunta
e queremos achar a densidade de
.
Conteúdo: estamos lidando com transformações de variáveis aleatórias, mais especificamente com a distribuição do máximo. Para resolver, vamos usar a noção de função de distribuição acumulada (CDF) e, depois, derivar para obter a densidade (PDF). Também vamos explorar o fato de que e
são independentes (dado o produto da densidade).
Conteúdo: estamos lidando com transformações de variáveis aleatórias, mais especificamente com a distribuição do máximo. Para resolver, vamos usar a noção de função de distribuição acumulada (CDF) e, depois, derivar para obter a densidade (PDF). Também vamos explorar o fato de que
Passo 2
Primeiro, a gente monta a CDF de
:
“
” só acontece se os dois forem ≤
. Então
Como
e
são independentes (você vê que
fatora), temos
E cada variável é exponencial com parâmetro 1, cuja CDF é
Logo
Passo 3
Agora a gente tira a derivada de
para achar a densidade
:
Usando a regra da cadeia:
Então