Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=c 0, x<0 k x, 0 <= x<5 k(10-x), 5 <= x <= 10 0, x>10
Determine o valor de k.

Passo 1

Então, o exercício diz que temos uma variável aleatória contínua com densidade
f(x)= 0, & x<0, k,x, & 0 <= x<5, k,(10 - x), & 5 <= x<=10, 0, & x>10,
e pede pra encontrar o valor de .
Conteúdo: teoria de variáveis contínuas (função densidade de probabilidade) e a condição de normalização

Vamos usar essa condição pra achar .

Passo 2

O que a gente sabe: para qualquer densidade contínua, a área total sob o gráfico tem que ser 1.
Aqui a densidade só é diferente de zero no intervalo integral-infty^+infty f(x),dx =integral0^5k,x,dx+integral5^10k,(10-x),dx =1 , dividido em duas partes: de 0 a 5 e de 5 a 10.
Então escrevemos:

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. integral0^5k,x,dx = k;[x^22]0^5 = k;(5^22-0^22) = k;252 = 25k2 .
    • Lembre que integral5^10k,(10-x),dx = k;[10x - x^22]5^10 = k;((10cdot10 - tfrac10^22) -(10cdot5 - tfrac5^22)) .
    • Então
    integral5^10k,(10-x),dx = k,(50 - 37,5) = kcdot12,5 = 25k2
  2. .
    • Aqui usamos .
    • Então
    • Calcule cada parte:
      • Em :
      • Em :
        Logo

Passo 4

Somando as duas áreas e igualando a 1:
25k2 + 25k2 = 1 Longrightarrow 25k = 1 Longrightarrow k = 125

Resposta

boxedk = 125

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