Expresse as seguintes funções na forma de cosseno:
-20 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para expressar na forma de cosseno a função dada: -20 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right).
Informações relevantes: a função original é -20 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right) e queremos uma forma equivalente usando cosseno, ou seja uma expressão do tipo A\cos(\omega t+\varphi) (preferivelmente com A\ge0).

Passo 2

Vamos lembrar (e provar rapidinho) uma identidade trigonométrica muito útil: \sin x = \cos(x-90^{\circ}). Vou mostrar por que isso é verdade usando a fórmula do cosseno da diferença:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.
Se escolhermos A=x e B=90^{\circ}, temos
\cos(x-90^{\circ})=\cos x\cos90^{\circ}+\sin x\sin90^{\circ}.
Sabemos que \cos90^{\circ}=0 e \sin90^{\circ}=1, logo
\cos(x-90^{\circ})=0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x=\sin x.
Portanto confirmamos que
\sin x = \cos(x-90^{\circ}).
Essa identidade é o que permite reescrever um seno como um cosseno com fase deslocada.

Passo 3

Aplique a identidade ao argumento da função. Tome x=\omega t+45^{\circ}. Então
\sin\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)=\cos\!\big((\omega t+45^{\circ})-90^{\circ}\big).
Calcule a diferença no argumento:
(\omega t+45^{\circ})-90^{\circ}=\omega t-45^{\circ}.
Logo
\sin\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)=\cos\!\left(\omega t-45^{\circ}\right).
Multiplicando por -20, obtemos uma forma em cosseno (ainda com amplitude negativa):
-20\operatorname{sen}\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)=-20\cos\!\left(\omega t-45^{\circ}\right).

Passo 4

Normalmente em sinais senoidais queremos apresentar a amplitude A como positiva. Para transformar -20\cos(\omega t-45^{\circ}) num cosseno com coeficiente positivo usamos a identidade
-\cos\theta = \cos(\theta+180^{\circ}),
pois \cos(\theta+180^{\circ})=\cos\theta\cos180^{\circ}-\sin\theta\sin180^{\circ}=\cos\theta(-1)-\sin\theta(0)=-\cos\theta. Aplicando com \theta=\omega t-45^{\circ}:
-20\cos\!\left(\omega t-45^{\circ}\right)=20\cos\!\big((\omega t-45^{\circ})+180^{\circ}\big).
Calcule a soma no argumento:
(\omega t-45^{\circ})+180^{\circ}=\omega t+135^{\circ}.
Portanto obtemos a forma com amplitude positiva:
-20\operatorname{sen}\!\left(\omega t+45^{\circ}\right)=20\cos\!\left(\omega t+135^{\circ}\right).

Passo 5

Fazendo uma checagem rápida em um ponto para ter certeza (exemplo com \omega t=0): a expressão original dá
-20\operatorname{sen}\!\left(0+45^{\circ}\right)=-20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-10\sqrt{2}.
A forma 20\cos(\omega t+135^{\circ}) em \omega t=0
20\cos(135^{\circ})=20\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-10\sqrt{2},
igual ao original, então está coerente. Resumindo: existem formas equivalentes — podemos manter amplitude negativa com fase -45^{\circ} ou usar amplitude positiva com fase +135^{\circ}. Para apresentação padrão usamos a amplitude positiva.

Resposta

-20\cos\!\left(\omega t-45^{\circ}\right)
20\cos\!\left(\omega t+135^{\circ}\right)

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