Dado um anel de raio a carregado com uma carga -q distribuída uniformemente no anel tendo, no seu centro, uma carga puntiforme q. a) Calcule o Potencial Elétrico a partir da distribuição de cargas, supondo V_{\infty}=0, num ponto de distância x do eixo do anel. b) A partir do resultado do potencial V, encontre o vetor campo elétrico no mesmo ponto x do eixo. Faça a análise vetorial do cálculo do campo

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras:
  • Perguntas:
    1. Calcular o potencial elétrico V (com V_{\infty}=0) em um ponto sobre o eixo do anel, localizado a uma distância x do centro do anel (ou seja, a distância do ponto até o centro é x).
    2. A partir de V, encontrar o vetor campo elétrico \mathbf{E} no mesmo ponto e fazer a análise vetorial do cálculo do campo.
  • Dados fornecidos:
    • Raio do anel: a.
    • Carga puntiforme no centro: q.
    • Carga distribuída uniformemente no anel: -q (total).
    • Ponto onde calculamos V e \mathbf{E}: sobre o eixo do anel à distância x do centro (suponho x medido ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel).
    • Referência de potencial: V_{\infty}=0.
Não passo ainda à resolução; só organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Conceitos e fórmula base para potencial (aula rápida e direta):
  • Potencial elétrico criado por uma carga pontual Q a uma distância r (com V_{\infty}=0) é
V_{\text{pontual}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Vou abreviar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} — é só uma constante para ficar mais limpo.
  • Princípio da superposição: o potencial total gerado por várias distribuições é a soma dos potenciais individuais (porque potencial é escalar).
Aplicando isso à carga puntiforme q no centro: a distância do centro até o ponto sobre o eixo é exatamente x, logo a contribuição do ponto central é
V_{\text{centro}}(x)=k\,\frac{q}{x}.
Observação didática: essa fórmula vale para x\neq 0. Se x\to 0 o potencial diverge (infinitamente grande) porque estamos no mesmo lugar da carga pontual.

Passo 3

Potencial devido ao anel uniformemente carregado (aula prática):
  • Porque a carga no anel é distribuída uniformemente, todos os elementos de carga dq do anel estão à mesma distância do ponto sobre o eixo. Essa distância é
R=\sqrt{a^2+x^2}.
Explicação: pegue um ponto da circunferência (raio a) e o ponto sobre o eixo a uma distância x do centro; eles formam um triângulo retângulo com hipotenusa R.
  • A densidade linear do anel (carga por comprimento) é
\lambda=\frac{\text{carga total do anel}}{\text{comprimento}}=\frac{-q}{2\pi a}.
  • Um elemento de carga é dq=\lambda\,dl=\lambda\,a\,d\varphi, mas como a distância R é a mesma para todos os dq, a integral do potencial simplifica muito:
V_{\text{anel}}(x)=\int k\,\frac{dq}{R}=k\,\frac{1}{R}\int dq = k\,\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\;(-q).
Colocando o sinal da carga do anel:
V_{\text{anel}}(x)= -\,k\,\frac{q}{\sqrt{a^2+x^2}}.
Pequena nota: fiz a integral só para mostrar o raciocínio; a chave é que R é constante ao longo do anel por simetria.

Passo 4

Soma por superposição — potencial total:
  • Somando as duas contribuições (centro + anel) obtemos o potencial total no ponto sobre o eixo:
V(x)=V_{\text{centro}}(x)+V_{\text{anel}}(x)
\boxed{ \;V(x)=k\,q\!\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)\; }.
Explicação dos símbolos: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, q é a carga do ponto central (lembrando que a carga do anel é -q).

Passo 5

Como obter o campo elétrico a partir do potencial (regra prática):
  • Relação fundamental: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial,
\mathbf{E}=-\nabla V.
  • No nosso problema há simetria cilíndrica: o potencial depende só de x (a coordenada ao longo do eixo). Portanto o gradiente reduz-se à derivada em relação a x ao longo do eixo. Se \hat{\mathbf{x}} indica o versor no sentido positivo do eixo (do centro para a direita, por exemplo),
\mathbf{E}(x)=-\frac{dV}{dx}\,\hat{\mathbf{x}}.
Agora calculemos dV/dx passo a passo a partir de V(x)=kq\!\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\right).
Derivadas (muito devagar, sem pular passos):
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)=\dfrac{d}{dx}\!\left(a^2+x^2\right)^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}(a^2+x^2)^{-3/2}\cdot 2x = -\dfrac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.
Então
\frac{dV}{dx}=kq\left(-\frac{1}{x^2} - \left(-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right)\right) = kq\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right).
Aplicando \mathbf{E}=-dV/dx\,\hat{\mathbf{x}}:
\boxed{ \;\mathbf{E}(x)=kq\left(\frac{1}{x^2}-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right)\hat{\mathbf{x}}\; }.
Interpretação rápida: o primeiro termo vem da carga pontual central (direção para fora se q>0), o segundo vem do anel (sinal e direção incorporados pelo valor de -q usado anteriormente).

Passo 6

Análise vetorial direta (checagem por Coulomb e simetria) — por que só aparece componente axial:
  • Método: aplicar a lei de Coulomb para um elemento dq do anel e somar (integrar) vetorialmente.
  • Parametrização do anel: posição do elemento no plano do anel em coordenadas polares (a,\varphi). Evento: r’ é posição do elemento; r é posição do ponto no eixo (distância x do centro). O vetor do elemento até o ponto tem módulo R=\sqrt{a^2+x^2} e componente axial x.
  • Campo diferencial criado por dq é
d\mathbf{E}=k\,\frac{dq}{R^2}\,\hat{\mathbf{R}}
onde \hat{\mathbf{R}} é o versor do elemento até o ponto. Esse vetor tem uma componente axial (paralela ao eixo) e uma componente radial (perpendicular ao eixo). Por simetria, para cada elemento em ângulo \varphi existe um elemento em \varphi+\pi com componente radial igual em módulo e oposta em direção, então as componentes radiais se cancelam quando somamos todo o anel. Só sobra a componente axial de cada d\mathbf{E}.
  • A componente axial de d\mathbf{E} é
dE_x = k\,\frac{dq}{R^2}\cos\theta,
onde \cos\theta = \dfrac{x}{R}. Substituindo \cos\theta e R,
dE_x = k\,\frac{dq}{R^2}\cdot\frac{x}{R}=k\,\frac{dq\,x}{R^3}=k\,\frac{dq\,x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.
Integrando ao longo do anel ( \int dq = -q) obtemos
E_{\text{anel},x}=k\,\frac{(-q)\,x}{(a^2+x^2)^{3/2}}.
  • Campo da carga pontual no centro, por Coulomb vetorial, é simplesmente
\mathbf{E}_{\text{centro}}(x)=k\,\frac{q}{x^2}\,\hat{\mathbf{x}}
(apontando para fora se q>0 e o ponto está em x>0).
  • Somando vetorialmente:
\mathbf{E}(x)=\mathbf{E}_{\text{centro}}(x)+\mathbf{E}_{\text{anel}}(x) = kq\left(\frac{1}{x^2}-\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right)\hat{\mathbf{x}},
o mesmo resultado obtido via \mathbf{E}=-\nabla V. Assim provamos consistentemente que só existe a componente axial e que a contribuição radial do anel se cancela por simetria.

Passo 7

Observações finais e interpretação física (ânimo!):
  • Tanto V(x) quanto \mathbf{E}(x) estão definidas para x\neq 0; em x=0 o potencial diverge por causa da carga pontual no centro.
  • O resultado mostra claramente a competição entre a repulsão da carga central q e a atração do anel -q. Há valores de x onde \mathbf{E}=0 (equilíbrio eletrostático) que satisfazem
\frac{1}{x^2}=\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}},
isso pode ser estudado se quiser encontrar posições de equilíbrio (é uma equação que pode ser manipulada para encontrar possíveis soluções positivas).
  • Parabéns por chegar até aqui — o procedimento padrão em provas: usar simetria para evitar integrais complicadas, somar potenciais por superposição e checar o campo com a derivada do potencial ou com integração vetorial direta.

Resposta

V(x)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\!\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)\n
\displaystyle \mathbf{E}(x)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\!\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right)\hat{\mathbf{x}}

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