Dado um anel de raio a carregado com uma carga
distribuída uniformemente no anel tendo, no seu centro, uma carga puntiforme
. a) Calcule o Potencial Elétrico a partir da distribuição de cargas, supondo
, num ponto de distância
do eixo do anel. b) A partir do resultado do potencial
, encontre o vetor campo elétrico no mesmo ponto x do eixo. Faça a análise vetorial do cálculo do campo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras:
-
Perguntas:
- Calcular o potencial elétrico
(com ) em um ponto sobre o eixo do anel, localizado a uma distância do centro do anel (ou seja, a distância do ponto até o centro é ). - A partir de
, encontrar o vetor campo elétrico no mesmo ponto e fazer a análise vetorial do cálculo do campo.
- Calcular o potencial elétrico
-
Dados fornecidos:
- Raio do anel:
. - Carga puntiforme no centro:
. - Carga distribuída uniformemente no anel:
(total). - Ponto onde calculamos
e : sobre o eixo do anel à distância do centro (suponho medido ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel). - Referência de potencial:
.
- Raio do anel:
Não passo ainda à resolução; só organizei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Conceitos e fórmula base para potencial (aula rápida e direta):
- Potencial elétrico criado por uma carga pontual
a uma distância (com ) é
Aqui
é a permissividade do vácuo. Vou abreviar
— é só uma constante para ficar mais limpo.
- Princípio da superposição: o potencial total gerado por várias distribuições é a soma dos potenciais individuais (porque potencial é escalar).
Aplicando isso à carga puntiforme
no centro: a distância do centro até o ponto sobre o eixo é exatamente
, logo a contribuição do ponto central é
Observação didática: essa fórmula vale para
. Se
o potencial diverge (infinitamente grande) porque estamos no mesmo lugar da carga pontual.
Passo 3
Potencial devido ao anel uniformemente carregado (aula prática):
- Porque a carga no anel é distribuída uniformemente, todos os elementos de carga
do anel estão à mesma distância do ponto sobre o eixo. Essa distância é
Explicação: pegue um ponto da circunferência (raio
) e o ponto sobre o eixo a uma distância
do centro; eles formam um triângulo retângulo com hipotenusa
.
- A densidade linear do anel (carga por comprimento) é
- Um elemento de carga é
, mas como a distância é a mesma para todos os , a integral do potencial simplifica muito:
Colocando o sinal da carga do anel:
Pequena nota: fiz a integral só para mostrar o raciocínio; a chave é que
é constante ao longo do anel por simetria.
Passo 4
Soma por superposição — potencial total:
- Somando as duas contribuições (centro + anel) obtemos o potencial total no ponto sobre o eixo:
Explicação dos símbolos:
,
é a carga do ponto central (lembrando que a carga do anel é
).
Passo 5
Como obter o campo elétrico a partir do potencial (regra prática):
- Relação fundamental: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial,
- No nosso problema há simetria cilíndrica: o potencial depende só de
(a coordenada ao longo do eixo). Portanto o gradiente reduz-se à derivada em relação a ao longo do eixo. Se indica o versor no sentido positivo do eixo (do centro para a direita, por exemplo),
Agora calculemos
passo a passo a partir de
.
Derivadas (muito devagar, sem pular passos):
Então
Aplicando
:
Interpretação rápida: o primeiro termo vem da carga pontual central (direção para fora se
), o segundo vem do anel (sinal e direção incorporados pelo valor de
usado anteriormente).
Passo 6
Análise vetorial direta (checagem por Coulomb e simetria) — por que só aparece componente axial:
- Método: aplicar a lei de Coulomb para um elemento
do anel e somar (integrar) vetorialmente. - Parametrização do anel: posição do elemento no plano do anel em coordenadas polares
. Evento: r’ é posição do elemento; r é posição do ponto no eixo (distância do centro). O vetor do elemento até o ponto tem módulo e componente axial . - Campo diferencial criado por
é
onde
é o versor do elemento até o ponto. Esse vetor tem uma componente axial (paralela ao eixo) e uma componente radial (perpendicular ao eixo). Por simetria, para cada elemento em ângulo
existe um elemento em
com componente radial igual em módulo e oposta em direção, então as componentes radiais se cancelam quando somamos todo o anel. Só sobra a componente axial de cada
.
- A componente axial de
é
onde
. Substituindo
e
,
Integrando ao longo do anel (
) obtemos
- Campo da carga pontual no centro, por Coulomb vetorial, é simplesmente
(apontando para fora se
e o ponto está em
).
- Somando vetorialmente:
o mesmo resultado obtido via
. Assim provamos consistentemente que só existe a componente axial e que a contribuição radial do anel se cancela por simetria.
Passo 7
Observações finais e interpretação física (ânimo!):
- Tanto
quanto estão definidas para ; em o potencial diverge por causa da carga pontual no centro. - O resultado mostra claramente a competição entre a repulsão da carga central
e a atração do anel . Há valores de onde (equilíbrio eletrostático) que satisfazem
isso pode ser estudado se quiser encontrar posições de equilíbrio (é uma equação que pode ser manipulada para encontrar possíveis soluções positivas).
- Parabéns por chegar até aqui — o procedimento padrão em provas: usar simetria para evitar integrais complicadas, somar potenciais por superposição e checar o campo com a derivada do potencial ou com integração vetorial direta.