4.5 Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a identidade
Informações dadas/úteis que usaremos (declaro explicitamente o que cada símbolo significa):
-
é a entalpia específica, função das variáveis (temperatura) e (pressão): . -
é a entropia específica. -
é o volume específico. -
é a capacidade calorífica a pressão constante, definida por . - Usaremos a relação termodinâmica fundamental para entalpia:
Não vou resolver nada aqui ainda; só deixei claro o pedido e as informações que posso usar.
Passo 2
Escrevo o diferencial total de
em função das derivadas parciais:
Isto é apenas a expansão total de uma função de duas variáveis: se
, pequenos incrementos satisfazem essa fórmula (regra da diferenciação total).
Passo 3
Derivo rapidamente a relação
para que fique claro de onde vem. Começo de
(pela definição de entalpia), então
Pela primeira lei e relação termodinâmica fundamental para energia interna
em variáveis naturais
, tem-se
. Substituindo,
Portanto a relação usada é consistente.
Passo 4
Expresso
como diferencial total em
e
:
Substituo isso em
:
Agora comparo com a expansão da Passo 2: as coeficientes de
e
devem ser iguais, logo
Pela definição de capacidade a pressão constante, reconhecemos a primeira igualdade como
Passo 5
Agora aplico a ideia de derivada implícita para a curva de entalpia constante
. Se fixamos
e varremos
, a variação
satisfaz
. Usando a expansão do Passo 2 com
,
Rearranjando para obter a derivada buscada
,
Substituo
obtido no Passo 4:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente