Questão 2 ( 2,5 pontos) - Em uma via arterial (velocidade máxima permitida 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ) os semáforos estão localizados a cada 500 m e cada um deles permanece aberto por 1,5 minutos e fechado por 1,0 minuto. Se um carro está parado no primeiro sinal, quantos semáforos ele será capaz de passar antes que eles se fechem novamente sem ultrapassar o limite de velocidade? Considere que a via seja reta e que o carro pode ser acelerado a 2,10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: “quantos semáforos ele será capaz de passar antes que eles se fechem novamente sem ultrapassar o limite de velocidade?”
Dados fornecidos (vou listar tudo explícito):
  • Velocidade máxima permitida: \,60\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância entre semáforos: \,500\\ \mathrm{m}.
  • Cada semáforo fica aberto (verde) por \,1{,}5 minutos e fechado (vermelho) por \,1{,}0 minuto. (Isso define um intervalo de abertura contínua de \,1{,}5 minutos a partir do instante em que o primeiro sinal abre.)
  • O carro está parado no primeiro sinal no instante em que esse sinal abre.
  • Aceleracão máxima do carro: \,2{,}10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que precisamos encontrar: o número de semáforos que o carro consegue transpor durante o intervalo em que os semáforos permanecem abertos, respeitando o limite de velocidade e começando parado no primeiro semáforo.

Passo 2

Primeiro, uniformizar unidades (super importante para não errar contas).
  • Converter a velocidade de \,60\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. Regra: multiplicar por \,1000/3600=1/3{,}6.
    v_{\text{max}} = 60\\ \mathrm{km/h} = 60\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{50}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 16{,}6667\\ \mathrm{m/s}.
    Vou usar \,v_{\text{max}} \approx 16{,}6667\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter o tempo de abertura de \,1{,}5 minutos para segundos:
    t_{\text{verde}} = 1{,}5\\ \text{min} = 1{,}5\cdot 60\\ \mathrm{s} = 90\\ \mathrm{s}.
  • A aceleração já está em \mathrm{m/s^2}: \,a=2{,}10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Distância entre sinais: \,L=500\\ \mathrm{m}.
Agora temos tudo em unidades compatíveis: tempos em segundos, distâncias em metros, velocidade em m/s.

Passo 3

Pensamento físico e equações necessárias (aula curta de cinemática):
  • Quando um objeto parte do repouso com aceleração constante a, a velocidade após tempo t é
    v(t)=v_0 + a t.
    Aqui v_0 é a velocidade inicial; como o carro parte parado, v_0=0.
  • A posição (deslocamento) após tempo t é dada por
    s(t)=s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
    Novamente v_0=0, e tomo s_0=0 no ponto do primeiro semáforo.
  • Estrategicamente o movimento tem duas fases possíveis:
    1. acelera até atingir v_{\text{max}};
    2. continua em velocidade constante v_{\text{max}} até o fim do tempo de abertura, se ainda houver tempo.
Precisamos calcular o tempo que o carro leva para atingir v_{\text{max}}, a distância percorrida nessa fase, e depois a distância percorrida à velocidade constante com o tempo restante.

Passo 4

Calcular o tempo para atingir a velocidade máxima:
t_v=\frac{v_{\text{max}}}{a}.
Substituindo números:
t_v=\frac{16{,}6667}{2{,}10}\\ \mathrm{s}\approx 7{,}94\\ \mathrm{s}.
Interpretação: em cerca de \,7{,}94\\ \mathrm{s} o carro já atingiu a velocidade de cruzeiro legal.

Passo 5

Calcular a distância percorrida durante a fase de aceleração (partindo do repouso) usando
s_1=\tfrac{1}{2}a t_v^2.
Fazendo as contas:
s_1=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}10\cdot (7{,}94)^2\\ \mathrm{m}\approx 66{,}14\\ \mathrm{m}.
Interpretação: são necessários só cerca de \,66{,}14\\ \mathrm{m} para atingir \,60\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Calcular o tempo restante de abertura após atingir v_{\text{max}}:
t_{\text{rest}}=t_{\text{verde}}-t_v = 90 - 7{,}94\\ \mathrm{s}\approx 82{,}06\\ \mathrm{s}.
Durante esse tempo o carro pode viajar à velocidade constante v_{\text{max}}. A distância nessa fase é
s_2 = v_{\text{max}}\cdot t_{\text{rest}} \approx 16{,}6667\cdot 82{,}06\\ \mathrm{m}\approx 1\;367{,}72\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Distância total que o carro percorre enquanto o sinal permanece aberto:
s_{\text{total}} = s_1 + s_2 \approx 66{,}14 + 1\;367{,}72\\ \mathrm{m} \approx 1\;433{,}86\\ \mathrm{m}.
Agora relacionamos isso à distância entre semáforos. Os semáforos estão em posições (medidas a partir do primeiro) \,0,\\\ 500,\\\ 1000,\\\ 1500,\ldots\\ \mathrm{m}.
O carro consegue alcançar qualquer semáforo cuja posição seja menor ou igual a s_{\text{total}}.
Contar quantos semáforos são atingidos (incluindo o primeiro onde ele estava parado): o número de semáforos com posição \le s_{\text{total}} é
N = \left\lfloor\frac{s_{\text{total}}}{L}\right\rfloor + 1,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Calculando:
\frac{s_{\text{total}}}{L} \approx \frac{1\;433{,}86}{500} \approx 2{,}8677,
portanto \lfloor 2{,}8677\rfloor = 2 e
N = 2 + 1 = 3.
Interpretação prática: o carro passa o primeiro semáforo (no qual estava parado) e consegue alcançar o segundo (a 500 m) e o terceiro (a 1000 m) antes que o período verde termine; não alcança o quarto semáforo (a 1500 m) porque 1\;433{,}86<1500.

Passo 8

Conclusão pedagógica curta e encorajamento: seguindo passo a passo — converter unidades, separar movimento em fases (aceleração e velocidade constante), aplicar fórmulas básicas da cinemática e comparar com o espaçamento — chegamos ao resultado. Você fez bem em pedir a resolução por etapas; na prova siga exatamente essa sequência com números redondos se precisar ganhar tempo.

Resposta

3 semáforos

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