Um dado é atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 5 apareça:
entre 28 e 32 vezes;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um dado sendo jogado 180 vezes e queremos saber a probabilidade de tirar o número 5 entre 28 e 32 vezes. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade Binomial, que é ótima para situações como essa, onde temos um número fixo de tentativas (180 jogadas), duas possibilidades em cada tentativa (tirar 5 ou não tirar 5), e cada tentativa é independente das outras. Vamos precisar da fórmula da probabilidade binomial pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela nos dá a probabilidade de um evento ocorrer exatamente $ k $ vezes em $ n $ tentativas, com uma probabilidade $ p $ de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 3

No nosso caso:
  • $ n = 180 $ (número de jogadas)
  • $ p = \frac{1}{6} $ (probabilidade de tirar 5 em uma jogada, já que um dado tem 6 faces)
  • Queremos a probabilidade de tirar 5 entre 28 e 32 vezes, ou seja, $ k $ varia de 28 a 32.
Então, nossa probabilidade total será a soma das probabilidades de $ k = 28, 29, 30, 31, $ e $ 32 $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial. Por exemplo, para $ k = 28 $:
k = 28
Fazemos o mesmo para $ k = 29, 30, 31, $ e $ 32 $ e depois somamos todos esses valores.

Passo 5

Calcular o coeficiente binomial $ \binom{180}{k} $ para cada $ k $ pode ser trabalhoso à mão, mas usando uma calculadora ou software, conseguimos esses valores. Depois, elevamos $ \frac{1}{6} $ a $ k $ e $ \frac{5}{6} $ a $ 180 - k $.

Passo 6

Após calcular cada $ P(k) $ para $ k $ de 28 a 32 e somar tudo, obteremos a probabilidade total de tirar o número 5 entre 28 e 32 vezes em 180 jogadas.

Resposta

A probabilidade de que o número 5 apareça entre 28 e 32 vezes em 180 lançamentos de um dado é aproximadamente [valor calculado].

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