Uma moeda é lançada 300 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas ocorra entre 130 e 160.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma moeda foi lançada 300 vezes e queremos saber qual é a probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial e sua aproximação pela Distribuição Normal. Para resolver, vamos precisar entender essas distribuições e como aplicá-las para calcular essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Imagine que cada lançamento da moeda tem dois possíveis resultados: cara ou coroa. Se a moeda for justa, a probabilidade de dar coroa em cada lançamento é de 50%, ou seja, $ p = 0.5 $.
Como temos 300 lançamentos independentes, o número de coroas obtidas segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 300 $ e $ p = 0.5 $.
Passo 3
A Distribuição Binomial pode ser difícil de calcular diretamente para números grandes como 300. Por isso, usamos a aproximação normal. Para isso, precisamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial.
A média é calculada por:
O desvio padrão é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas. Usamos a fórmula da distribuição normal para calcular essa probabilidade. Primeiro, padronizamos os valores usando a fórmula do escore z:
Vamos calcular o z para 130 e para 160.
Para 130:
Para 160:
Passo 5
Com esses valores de z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora. A tabela nos dá a área à esquerda de um valor z.
Para $ z_1 = -2.31 $, a área é aproximadamente 0.0104.
Para $ z_2 = 1.15 $, a área é aproximadamente 0.8749.
Passo 6
A probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas é a diferença entre essas duas áreas:
Resposta
A probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas em 300 lançamentos é de aproximadamente 86,45%.