Uma moeda é lançada 300 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas ocorra entre 130 e 160.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma moeda foi lançada 300 vezes e queremos saber qual é a probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial e sua aproximação pela Distribuição Normal. Para resolver, vamos precisar entender essas distribuições e como aplicá-las para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição Binomial. Imagine que cada lançamento da moeda tem dois possíveis resultados: cara ou coroa. Se a moeda for justa, a probabilidade de dar coroa em cada lançamento é de 50%, ou seja, $ p = 0.5 $.
Como temos 300 lançamentos independentes, o número de coroas obtidas segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 300 $ e $ p = 0.5 $.

Passo 3

A Distribuição Binomial pode ser difícil de calcular diretamente para números grandes como 300. Por isso, usamos a aproximação normal. Para isso, precisamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição binomial.
A média é calculada por:
sigma
O desvio padrão é:
mu = n times p = 300 times 0.5 = 150

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas. Usamos a fórmula da distribuição normal para calcular essa probabilidade. Primeiro, padronizamos os valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Vamos calcular o z para 130 e para 160.
Para 130:
z1 = 130 - 1508.66 approx -208.66 approx -2.31
Para 160:
z2 = 160 - 1508.66 approx 108.66 approx 1.15

Passo 5

Com esses valores de z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora. A tabela nos dá a área à esquerda de um valor z.
Para $ z_1 = -2.31 $, a área é aproximadamente 0.0104.
Para $ z_2 = 1.15 $, a área é aproximadamente 0.8749.

Passo 6

A probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas é a diferença entre essas duas áreas:
P(130 <= X <= 160) = P(z <= 1.15) - P(z <= -2.31) = 0.8749 - 0.0104 = 0.8645

Resposta

A probabilidade de obter entre 130 e 160 coroas em 300 lançamentos é de aproximadamente 86,45%.

Exercícios relacionados