Seja o subespaço
gerado pelos vetores:
(b) Qual é a dimensão de
?
Passo 1
Beleza, temos um subespaço
gerado pelos vetores
A pergunta é: “qual é a dimensão de
?”
Conteúdo da matéria: espaço vetorial, subespaço, base, dimensão e independência linear.
O que vamos precisar: lembrar que
Conteúdo da matéria: espaço vetorial, subespaço, base, dimensão e independência linear.
O que vamos precisar: lembrar que
- a dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base,
- uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se algum vetor é combinação dos outros (teoria de dependência linear).
Procuramos coeficientes tais que
Procuramos coeficientes
Escrevendo componente a componente:
e queremos igualar a
. Logo
Ou seja
Isso mostra que
não traz informação nova: ele é dependente de
e
.
Passo 3
Agora, para ver se
é uma base, precisamos checar se são linearmente independentes.
A gente vê que, se , então
A gente vê que, se
implica
e
.
Como só a combinação trivial dá o vetor zero, e
são independentes.
Além disso, já vimos que eles geram , então geram todo
.
Logo é uma base de
.
Como só a combinação trivial dá o vetor zero,
Além disso, já vimos que eles geram
Logo
Resposta
A dimensão de
é 2.