Seja o subespaço W subseteq R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,0,1,0), v2=(0,1,0,1), v3=(1,1,1,1)
(b) Qual é a dimensão de W ?

Passo 1

Beleza, temos um subespaço v1=(1,0,1,0), v2=(0,1,0,1), v3=(1,1,1,1) gerado pelos vetores
A pergunta é: “qual é a dimensão de ?”
Conteúdo da matéria: espaço vetorial, subespaço, base, dimensão e independência linear.
O que vamos precisar: lembrar que
  1. a dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base,
  2. uma base é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se algum vetor é combinação dos outros (teoria de dependência linear).
Procuramos coeficientes alpha,v1 + beta,v2 = v3 tais que
(alpha,0,alpha,0) + (0,beta,0,beta) = (alpha,beta,alpha,beta)
Escrevendo componente a componente:
alpha = 1, beta = 1
e queremos igualar a v3 = 1cdot v1 + 1cdot v2 = v1 + v2 . Logo
Ou seja
Isso mostra que não traz informação nova: ele é dependente de e .

Passo 3

Agora, para ver se (alpha,beta,alpha,beta) = (0,0,0,0) é uma base, precisamos checar se são linearmente independentes.
A gente vê que, se , então
implica e .
Como só a combinação trivial dá o vetor zero, e são independentes.
Além disso, já vimos que eles geram , então geram todo .
Logo é uma base de .

Resposta

A dimensão de é 2.

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