Um dado é atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 5 apareça:
mais do que 35 vezes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente joga um dado justo 180 vezes e quer saber a probabilidade de sair “5” mais de 35 vezes.
Conteúdo: distribuição binomial e aproximação pela distribuição normal.
Vamos precisar de:
  1. Definir a variável binomial.
  2. Calcular média e desvio-padrão.
  3. Justificar a aproximação normal (teorema do limite central).
  4. Fazer correção de continuidade.
  5. Calcular o valor de Z e usar a tabela da normal padrão.

Passo 2

Definimos Xsim Binomial(n=180, p=tfrac16), onde X é o número de vezes que sai “5”.
A probabilidade que queremos é
P(X>35)=sumk=36^180binom180kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^180-k
Como n é grande, vamos aproximar por uma normal.

Passo 3

Primeiro achamos a média e o desvio-padrão de X:
mu = np = 180cdot tfrac16 = 30, sigma^2 = np(1-p)=180cdottfrac16cdottfrac56 =25, sigma=5
Pelo teorema do limite central, se n é grande e np,,n(1-p)>5, então
Xapprox N(mu=30,sigma^2=25)

Passo 4

Como queremos P(X>35), usamos a correção de continuidade:
P(X>35)approx Pl(X>35.5r)na normal

Passo 5

Padronizando:
Z=X-musigmaLongrightarrow P(X>35.5)approx Pl(Z>tfrac35.5-305r)=P(Z>1.1)
Da tabela da normal padrão, Phi(1.1)approx0.8643, então
P(Z>1.1)=1-Phi(1.1)approx1-0.8643=0.1357

Resposta

A probabilidade de sair “5” mais de 35 vezes em 180 lançamentos é aproximadamente 0.136, (13,6%).

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