Dado B=\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x^{2}<2\right\}, determine \sup B em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
B = \{\,x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\}
e pede o supremo de B considerado em \mathbb{R}.
Conteúdo: conceito de limite superior (supremo) e uso da completude de \mathbb{R} junto com a densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que \sqrt{2} é um limitante superior de B.
Se x\in B, então x\in\mathbb{Q} e x^2<2. Daí |x|<\sqrt{2}. Em particular, x\le \sqrt{2}. Logo, nenhum elemento de B ultrapassa \sqrt{2}, o que prova que \sqrt{2} é um limitante superior de B.

Passo 3

Mostramos que não existe um limitante superior menor que \sqrt{2}.
Seja \varepsilon>0. Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, existe x\in\mathbb{Q} tal que
\sqrt{2}-\varepsilon < x < \sqrt{2}.
Como x<\sqrt{2} implica x^2<2, esse x pertence a B. Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, há elemento de B maior que \sqrt{2}-\varepsilon. Portanto, \sqrt{2} é o menor limitante superior de B.

Resposta

\sup B = \sqrt{2}

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