Em \mathbb{R} prove que a^{2}+b^{2}=0 \Leftrightarrow a=b=0. Generalize para n números reais.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{R},
a^{2}+b^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b=0,
e depois generalizar para n números reais.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade fundamental dos quadrados em \mathbb{R}: para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0 \quad\text{e}\quad x^{2}=0\;\Longleftrightarrow\;x=0.

Passo 2

Mostramos primeiro a implicação direta. Se a=b=0, então
a^{2}+b^{2}=0^{2}+0^{2}=0+0=0,
logo \;a=b=0\implies a^{2}+b^{2}=0.

Passo 3

Agora a implicação inversa. Suponha que
a^{2}+b^{2}=0.
Como a^{2}\ge0 e b^{2}\ge0, a soma de dois não-negativos só pode ser zero se cada um for zero. Logo
a^{2}=0 \quad\text{e}\quad b^{2}=0.
Pelo fato citado, de x^{2}=0 segue x=0. Assim concluímos
a=0 \quad\text{e}\quad b=0,
ou seja,
a^{2}+b^{2}=0\;\Longrightarrow\;a=b=0.

Passo 4

Generalização para n números reais x_{1},x_{2},\dots,x_{n}. Observamos que cada termo \,x_{i}^{2}\ge0. Então
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=0
é soma de n termos não-negativos e só pode dar zero se, para todo i,
x_{i}^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; x_{i}=0.
E a implicação recíproca é trivial: se todos os x_{i}=0, a soma dos quadrados é zero.

Resposta

Em \mathbb{R},
a^{2}+b^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b=0.
Mais geralment e, para x_{1},\dots,x_{n}\in\mathbb{R}:
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; x_{i}=0\;\text{para todo }i.

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