Em
prove que
. Generalize para
números reais.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
,
e depois generalizar para
números reais.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade fundamental dos quadrados em : para todo
vale
O conteúdo que vamos usar é a propriedade fundamental dos quadrados em
Passo 2
Mostramos primeiro a implicação direta. Se
, então
logo
.
Passo 3
Agora a implicação inversa. Suponha que
Como
e
, a soma de dois não-negativos só pode ser zero se cada um for zero. Logo
Pelo fato citado, de
segue
. Assim concluímos
ou seja,
Passo 4
Generalização para
números reais
. Observamos que cada termo
. Então
é soma de
termos não-negativos e só pode dar zero se, para todo
,
E a implicação recíproca é trivial: se todos os
, a soma dos quadrados é zero.
Resposta
Em
,
Mais geralment e, para
: