Dados, C, D \subset \mathbb{R} conjuntos limitados superiormente. Determine se \sup (C \cup D)= \max \{\sup C, \sup D\}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados os conjuntos limitados superiormente C,D\subset\mathbb{R},
\sup\bigl(C\cup D\bigr)=\max\{\sup C,\sup D\}.
Vamos usar a definição de supremo como “menor das cotas superiores” e verificar que \max\{\sup C,\sup D\} satisfaz exatamente esse papel para C\cup D.

Passo 2

Sejam
\alpha = \sup C \quad\text{e}\quad \beta = \sup D.
Mostramos primeiro que
M = \max\{\alpha,\beta\}
é uma cota superior de C\cup D. De fato, seja x\in C\cup D. Então ou x\in C e, como \alpha é cota superior de C, vale x\le\alpha\le M, ou x\in D e então x\le\beta\le M. Logo, em todo caso, x\le M, ou seja, M é cota superior de C\cup D.

Passo 3

Agora mostramos que M é a menor cota superior. Seja \gamma qualquer cota superior de C\cup D. Então, em particular, \gamma é cota superior de C (porque C\subset C\cup D) e também de D. Portanto
\gamma \ge \sup C = \alpha \quad\text{e}\quad \gamma \ge \sup D = \beta,
que implica
\gamma \ge \max\{\alpha,\beta\} = M.
Assim, não existe cota superior de C\cup D menor que M, ou seja, M é o supremo de C\cup D.

Resposta

\sup\bigl(C\cup D\bigr)=\max\{\sup C,\sup D\}.

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