Dados,
conjuntos limitados superiormente. Determine se
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os conjuntos limitados superiormente
,
Vamos usar a definição de supremo como “menor das cotas superiores” e verificar que
satisfaz exatamente esse papel para
.
Passo 2
Sejam
Mostramos primeiro que
é uma cota superior de
. De fato, seja
. Então ou
e, como
é cota superior de
, vale
, ou
e então
. Logo, em todo caso,
, ou seja,
é cota superior de
.
Passo 3
Agora mostramos que
é a menor cota superior. Seja
qualquer cota superior de
. Então, em particular,
é cota superior de
(porque
) e também de
. Portanto
que implica
Assim, não existe cota superior de
menor que
, ou seja,
é o supremo de
.