Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(1,2,3) ; \quad v_{1}=(1,2,1), v_{2}=(-2,3,0), v_{3}=(5,0,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
u = (1,2,3)
pertence ao espaço gerado pelos vetores
v_{1}=(1,2,1),\quad v_{2}=(-2,3,0),\quad v_{3}=(5,0,3).
Ou seja, precisamos ver se existem escalares a,b,c tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=u.
Para isso, montaremos e resolveremos um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear coordenada a coordenada, temos:
a\,(1,2,1)+b\,(-2,3,0)+c\,(5,0,3)=(1,2,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - 2b + 5c = 1,\\\\ 2a + 3b = 2,\\\ a + 3c = 3. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação
a+3c=3
segue
a=3-3c.
Substituindo em
2a+3b=2 \quad\text{e}\quad a-2b+5c=1
obtemos
2(3-3c)+3b=2\;\Longrightarrow\;3b-6c=-4,
(3-3c)-2b+5c=1\;\Longrightarrow\;-2b+2c=-2.

Passo 4

O sistema em b,c\) fica \[\begin{cases} 3b-6c=-4,\\\\ -2b+2c=-2. \end{cases}
Dividindo a primeira por 3 e a segunda por (-2], vem
b-2c=-\tfrac{4}{3}, \quad b-c=1.
Subtraindo a primeira da segunda:
(b-c)-(b-2c)=1-(-\tfrac{4}{3}) \;\Longrightarrow\;-c=\tfrac{7}{3} \;\Longrightarrow\;c=\tfrac{7}{3}.
Então
b = 1 + c = 1 + \tfrac{7}{3} = \tfrac{10}{3},
e
a = 3-3c = 3 - 3\cdot\tfrac{7}{3} = -4.

Resposta

u pertence ao espaço gerado e sua combinação linear é
u = -4\,v_{1} \;+\;\tfrac{10}{3}\,v_{2}\;+\;\tfrac{7}{3}\,v_{3}.

Exercícios relacionados