Dado o campo F(x, y)=(2 x y, x^2+3 y^2). Calcule integralC F cdot d r onde C é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(2xy,;x^2+3y^2) e C é o semiarco da circunferência
(x-1)^2+l(y-tfrac12r)^2=tfrac14, x>=1,
indo de A=(1,0) a B=(1,1).
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial e teste de campo conservativo.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, comparando
partial Ppartial y e partial Qpartial x,
onde P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2+3y^2.
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x
Como são iguais em toda a região, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos potencial phi(x,y) tal que
nablaphi=(P,Q)
Integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y)
Depois impomos partialphipartial y=Q:
partialpartial yl(x^2y+h(y)r) = x^2 + h'(y) stackrel!= x^2+3y^2 ;Longrightarrow;h'(y)=3y^2 ;Longrightarrow;h(y)=y^3
Logo
phi(x,y)=x^2y + y^3

Passo 4

Como o campo é conservativo,
integralCFcdot dr =phi(B)-phi(A)
Calculando nos pontos:
phi(1,1)=1^2cdot1 + 1^3=2, phi(1,0)=1^2cdot0 + 0^3=0
Logo a integral vale 2-0=2.

Resposta

2

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