Prove que a série sumk=1^infty 1k^p converge se p>1 e diverge se p<1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termo geral tfrac1k^p. O conteúdo que vamos usar é o teste da integral (ou teste de Cauchy), que compara
sumk=1^infty1k^p
com a integral imprópria de f(x)=x^-p em [1,infty).

Passo 2

Verificamos que, para x>=1 e p fixo, a função
f(x)=x^-p
é positiva, contínua e estritamente decrescente. Essas são as hipóteses do teste da integral, que diz que a série sumk=1^infty f(k) e a integral
integral1^inftyf(x),dx
convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria para dois casos:
Caso pneq1:
integral1^Nx^-p,dx =l[x^1-p1-pr]1^N =N^1-p-11-p
Caso p=1:
integral1^Nx^-1,dx =l[ln xr]1^N =ln N

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando Ntoinfty:
  • Se p>1, então 1-p<0 e N^1-pto0. Logo
    integral1^inftyx^-p,dx =0-11-p =1p-1<infty
    Pelo teste da integral, a série converge.
  • Se p<1, então 1-p>0 e N^1-ptoinfty. Logo
    integral1^inftyx^-p,dx =infty,
    e a série diverge.
  • (Bônus) Para p=1 temos integral1^inftyx^-1,dx=limNtoinftyln N=infty, confirmando que a série harmônica diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty1k^p converge se, e somente se, p>1, e diverge quando p<1.

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