Prove que a série
converge se
e diverge se
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termo geral
. O conteúdo que vamos usar é o teste da integral (ou teste de Cauchy), que compara
com a integral imprópria de
em
.
Passo 2
Verificamos que, para
e
fixo, a função
é positiva, contínua e estritamente decrescente. Essas são as hipóteses do teste da integral, que diz que a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria para dois casos:
Caso
:
Caso
:
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
:
-
Se
, então e . Logo Pelo teste da integral, a série converge. -
Se
, então e . Logo e a série diverge. -
(Bônus) Para
temos , confirmando que a série harmônica diverge.
Resposta
A série
converge se, e somente se,
, e diverge quando
.