Justifique por que as seguintes desigualdades são verdadeiras. [Dica: TVM e ln é crescente]
, para todo
.
Passo 1
Vamos mostrar que, para toda
,
O que vamos usar é o Teorema do Valor Médio aplicado à função
que é diferenciável em
(1,+infty) com derivada
Note que, como
a,b>=1 , qualquer ponto
xi entre
a e
b também satisfaz
xi>=1 .
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
xi entre
a e
b tal que
Tomando valor absoluto, obtemos
Passo 3
Como
xi >= 1 , temos
raizxi >= 1 e portanto
Substituindo nessa desigualdade anterior, chegamos a