Justifique por que as seguintes desigualdades são verdadeiras. [Dica: TVM e ln é crescente]
|raiza-raizb| <= 12|a-b|, para todo a, b in[1,+infty).

Passo 1

Vamos mostrar que, para toda a,b>=1,
l|raiza-raizbr|<=12,|a-b|
O que vamos usar é o Teorema do Valor Médio aplicado à função
f(x)=raizx,
que é diferenciável em (1,+infty) com derivada
f'(x)=12raizx
Note que, como a,b>=1, qualquer ponto xi entre a e b também satisfaz xi>=1.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe xi entre a e b tal que
raiza-raizb =f'(xi),(a-b)
Tomando valor absoluto, obtemos
l|raiza-raizbr| =l|f'(xi)r|;|a-b| =12raizxi;|a-b|

Passo 3

Como xi >= 1, temos raizxi >= 1 e portanto
12raizxi <= 12
Substituindo nessa desigualdade anterior, chegamos a
l|raiza - raizbr| <= 12 |a - b|

Resposta

boxedl|raiza-raizbr|<=12,|a-b|para todo a,bin[1,infty)

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