Dado o campo de deslocamentos:
u(X, Y, Z)=0,01 X^2 Y v(X, Y, Z)=0,003 Y Z w(X, Y, Z)=0,0002 X Z^3
em que X, Y e Z, bem como u, v e w, são medidos em metro, pede-se:
Calcular a deformação específica no ponto P(0,75 ; 2 ; 5) m em relação à direção definida pelo ponto Q(0,8 ; 2,05 ; 4,99) m.

Passo 1

O exercício dá um campo de deslocamentos em 3D
u(X,Y,Z)=0,01X^2Y, v(X,Y,Z)=0,003YZ, w(X,Y,Z)=0,0002XZ^3
e pede a “deformação específica” num ponto na direção do ponto .
Conteúdo: cálculo de deformação na teoria de pequenos deslocamentos. Vamos precisar de:
  1. vetor direção de a e sua normalização;
  2. gradiente do vetor deslocamento ;
  3. tensor de deformação de pequeno deslocamento ;
  4. projeção desse tensor na direção unitária (ou seja, ).

Passo 2

Primeiro a gente acha o vetor de De a |De:
n = De
O comprimento dele é
Logo o vetor unitário na direção é

Passo 3

Agora a gente calcula o gradiente do vetor deslocamento, ou seja, todas as derivadas parciais de u,X&=0,02cdot0,75cdot2=0,03, &&u,Y=0,01cdot0,75^2=0,005625, &&u,Z=0, v,X&=0, &&v,Y=0,003cdot5=0,015, &&v,Z=0,003cdot2=0,006, w,X&=0,0002cdot5^3=0,025, &&w,Y=0, &&w,Z=0,0006cdot0,75cdot5^2=0,01125 em relação a .

  1. Aí a gente avalia tudo em :

Passo 4

Montamos o tensor de pequena deformação
varepsilonij = tfrac12l(ui,j + uj,ir)
Isso dá (dinamicamente você reconhece simetria e monta só metade):
varepsilon = 0,03 & 0,0028125 & 0,0125[6pt] 0,0028125 & 0,015 & 0,003[6pt] 0,0125 & 0,003 & 0,01125

Passo 5

A deformação específica na direção varepsilonn = ni,nj,varepsilonij = n^T,varepsilon,n é
varepsilonn approx 0,02199
Substituindo e o tensor acima, a conta dá

Resposta

A deformação específica em boxedvarepsilonn = 0,02199(adimensional, ou 2,20%) ao longo da direção vale aproximadamente

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