Dado o campo de deslocamentos:
u(X, Y, Z)=0,01 X^2 Y v(X, Y, Z)=0,003 Y Z w(X, Y, Z)=0,0002 X Z^3
em que X, Y e Z, bem como u, v e w, são medidos em metro, pede-se:
Considerando os pontos P(0,75 ; 2 ; 5) m, Q(0,8 ; 2,05 ; 4,99) m e R(0,65 ; 2,04 ; 4,7) m, verificar que os segmentos P Q e P R são ortogonais e calcular a deformação angular no ponto P em relação às direções definidas pelos pontos Q e R.

Passo 1

O enunciado dá um campo de deslocamentos
u(X,Y,Z)=0,01,X^2Y, v(X,Y,Z)=0,003,YZ, w(X,Y,Z)=0,0002,XZ^3
e pede duas coisas em relação aos pontos
P(0,75,2,5), Q(0,8,2,05,4,99), R(0,65,2,04,4,7):
1) mostrar que PQperpPR;
2) calcular a deformação angular em P entre as direções Pto Q e Pto R.
Conteúdo que vamos usar: cálculo de vetor deslocamento entre pontos, produto escalar (para ortogonalidade), gradiente de deslocamentos nabla u e a relação de pequenas deformações que diz que, para duas direções unitárias mperp n, a variação de ângulo é
de

Passo 2

Primeiro, monto os vetores
PQ=Q-P=(0,8-0,75,;2,05-2,;4,99-5)=(0,05,;0,05,;-0,01),
PR=R-P=(0,65-0,75,;2,04-2,;4,7-5)=(-0,10,;0,04,;-0,30)
O produto escalar é
PQcdotPR =0,05cdot(-0,10)+0,05cdot0,04+(-0,01)cdot(-0,30) =-0,005+0,002+0,003=0
Como o escalar deu zero, concluímos que PQperpPR.

Passo 3

Agora precisamos do gradiente das componentes de deslocamento em P(0,75,2,5).
Calculo as derivadas parciais:
partial upartial X=0,02,XY, partial upartial Y=0,01,X^2, partial upartial Z=0,
partial vpartial X=0, partial vpartial Y=0,003,Z, partial vpartial Z=0,003,Y,
partial wpartial X=0,0002,Z^3, partial wpartial Y=0, partial wpartial Z=0,0006,X,Z^2
Em P(0,75,2,5):
nabla u(P)= 0,03 & 0,005625 & 0 0 & 0,015 & 0,006 0,025 & 0 & 0,01125

Passo 4

Teoria rápida de deformação angular: com fibras inicialmente ortogonais de direções unitárias m e n, a pequena mudança de ângulo vale
de
Aqui nabla u+nabla u^T é a parte simétrica do gradiente.

Passo 5

Formo as direções unitárias
m=PQ|PQ| =l(0,7,;0,7,;-0,14r), n=PR|PR| =l(-0,3137,;0,1255,;-0,9412r)
Calculo
$$
\nabla\mathbf u+\nabla\mathbf u^{T}

nabla u+nabla u^T = 0,06 & 0,005625 & 0,025 0,005625 & 0,03 & 0,006 0,025 & 0,006 & 0,0225 , ,
deã
\delta\theta
=\mathbf m^{T}\bigl(\nabla\mathbf u+\nabla\mathbf u^{T}\bigr)\mathbf n
\approx -0{,}0278;rad.
$$

Resposta

  1. PQperpPR.
  2. A deformação angular em P entre as direções PQ e PR é
de

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