Dado um campo magnético
, verifique o teorema de Stoks para esse campo numa região quadrada no plano
com coodenadas
e
variando entre 0 e
. Ou seja verifique se:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um campo magnético definido por
. A gente precisa verificar o Teorema de Stokes para esse campo dentro de uma área quadrada no plano
, onde tanto
quanto
variam de 0 até
. O Teorema de Stokes conecta a integral de linha do campo ao longo da borda dessa área com a integral dupla do rotacional do campo sobre a própria área. Pra resolver isso, vamos precisar:
- Calcular a integral de linha
. - Calcular a integral dupla
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda do quadrado. A fronteira
é composta por quatro lados:
- De
a no eixo . - De
a no eixo . - De
a de volta no eixo . - De
a de volta no eixo .
Vamos parametrizar cada lado e calcular a integral
para cada segmento.
Por exemplo, para o primeiro lado de
a
,
e
varia de 0 a
, então
e
. A integral nesse trecho será:
Fazendo isso para os quatro lados e somando, a integral total de linha será
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla do rotacional de
sobre a área
. Primeiro, precisamos achar o rotacional
.
Para um campo
, o rotacional é:
No nosso caso,
, ou seja,
,
e
. Calculando cada componente:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 4
Comparando os resultados obtidos:
- Integral de linha:
- Integral dupla do rotacional:
Como os dois lados do Teorema de Stokes deram o mesmo resultado, a igualdade está confirmada.
Resposta
Portanto, o Teorema de Stokes foi verificado e válido para o campo magnético dado na região quadrada considerada.