Dado um campo magnético B=-y i+x j, verifique o teorema de Stoks para esse campo numa região quadrada no plano x y com coodenadas x e y variando entre 0 e a. Ou seja verifique se:
ointpartial S B cdot d r=integral duplaS(nabla times B) cdot d S,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um campo magnético definido por B = -y i + x j. A gente precisa verificar o Teorema de Stokes para esse campo dentro de uma área quadrada no plano xy, onde tanto x quanto y variam de 0 até a. O Teorema de Stokes conecta a integral de linha do campo ao longo da borda dessa área com a integral dupla do rotacional do campo sobre a própria área. Pra resolver isso, vamos precisar:
  1. Calcular a integral de linha ointpartial S B cdot d r.
  2. Calcular a integral dupla integral duplaS (nabla times B) cdot d S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda do quadrado. A fronteira partial S é composta por quatro lados:
  1. De (0,0) a (a,0) no eixo x.
  2. De (a,0) a (a,a) no eixo y.
  3. De (a,a) a (0,a) de volta no eixo x.
  4. De (0,a) a (0,0) de volta no eixo y.
Vamos parametrizar cada lado e calcular a integral B cdot dr para cada segmento.
Por exemplo, para o primeiro lado de (0,0) a (a,0), y = 0 e x varia de 0 a a, então B = -0 i + x j = x j e dr = dx i. A integral nesse trecho será:
integral0^a B cdot dr = integral0^a x cdot 0 , dx = 0
Fazendo isso para os quatro lados e somando, a integral total de linha será 2a^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla do rotacional de B sobre a área S. Primeiro, precisamos achar o rotacional nabla times B.
Para um campo B = Bx i + By j + Bz k, o rotacional é:
nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z ) i + ( partial Bxpartial z - partial Bzpartial x ) j + ( partial Bypartial x - partial Bxpartial y ) k
No nosso caso, B = -y i + x j, ou seja, Bx = -y, By = x e Bz = 0. Calculando cada componente:
nabla times B = ( 0 - 0 ) i + ( 0 - 0 ) j + ( partial xpartial x - partial (-y)partial y ) k = (1 + 1) k = 2 k
Agora, a integral dupla fica:
integral duplaS (nabla times B) cdot dS = integral duplaS 2 k cdot k , dS = 2 integral duplaS dS = 2 cdot Área do quadrado = 2a^2 Á

Passo 4

Comparando os resultados obtidos:
  • Integral de linha: 2a^2
  • Integral dupla do rotacional: 2a^2
Como os dois lados do Teorema de Stokes deram o mesmo resultado, a igualdade está confirmada.

Resposta

ointpartial S B cdot d r = integral duplaS (nabla times B) cdot d S = 2a^2
Portanto, o Teorema de Stokes foi verificado e válido para o campo magnético dado na região quadrada considerada.

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