Uma partícula de massa 0,120 kg tem a posição descrita por x(t)=2 t^3-5 t^2+7 t-4 ( x em metros e t em segundos). Determine a força que age sobre a partícula no instante t=1,8 s. (2,0 pt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 0,120 kg cuja posição em função do tempo é dada por $ x(t) = 2 t^{3} - 5 t^{2} + 7 t - 4 $ metros. A gente precisa descobrir qual é a força que está agindo nessa partícula no instante de $ t = 1,8 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, mais especificamente as relações entre posição, velocidade, aceleração e força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $:
x(t)

Passo 3

Vamos calcular essa derivada:
v(t) = 6 t^2 - 10 t + 7
Então, a velocidade em qualquer instante $ t $ é dada por $ v(t) = 6 t^{2} - 10 t + 7 $ metros por segundo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = ddt(6 t^2 - 10 t + 7)
Calculando essa derivada:
a(t) = 12 t - 10
Então, a aceleração em qualquer instante $ t $ é dada por $ a(t) = 12 t - 10 $ metros por segundo ao quadrado.

Passo 5

Com a aceleração encontrada, podemos agora calcular a força que está agindo sobre a partícula usando a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Onde:
  • $ m = 0,120 $ kg (massa da partícula)
  • $ a = 12 t - 10 $ m/s² (aceleração)
Vamos substituir $ t = 1,8 $ s na expressão da aceleração:
m = 0,120 ²
Agora, calculamos a força:
a = 12 t - 10

Resposta

A força que age sobre a partícula no instante $ t = 1,8 $ segundos é de aproximadamente 1,392 Newtons.

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