Uma partícula de massa
tem a posição descrita por
(
em metros e
em segundos). Determine a força que age sobre a partícula no instante
. (2,0 pt)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 0,120 kg cuja posição em função do tempo é dada por $ x(t) = 2 t^{3} - 5 t^{2} + 7 t - 4 $ metros. A gente precisa descobrir qual é a força que está agindo nessa partícula no instante de $ t = 1,8 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, mais especificamente as relações entre posição, velocidade, aceleração e força.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada:
Então, a velocidade em qualquer instante $ t $ é dada por $ v(t) = 6 t^{2} - 10 t + 7 $ metros por segundo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando essa derivada:
Então, a aceleração em qualquer instante $ t $ é dada por $ a(t) = 12 t - 10 $ metros por segundo ao quadrado.
Passo 5
Com a aceleração encontrada, podemos agora calcular a força que está agindo sobre a partícula usando a segunda lei de Newton:
Onde:
- $ m = 0,120 $ kg (massa da partícula)
- $ a = 12 t - 10 $ m/s² (aceleração)
Vamos substituir $ t = 1,8 $ s na expressão da aceleração:
Agora, calculamos a força:
Resposta
A força que age sobre a partícula no instante $ t = 1,8 $ segundos é de aproximadamente 1,392 Newtons.