Uma roda gira em torno de um eixo que está na direção
. A velocidade angular
é
para
, aumenta linearmente no decorrer do tempo e é
para
. Consideramos a rotação anti-horária como positiva.
a) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa?
b) Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui?
c) Qual é o deslocamento angular da roda para
?
a) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa?
b) Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui?
c) Qual é o deslocamento angular da roda para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que gira em torno de um eixo na direção $ z $. A velocidade angular $ \omega_z $ começa em
no tempo $ t = 0 $ e aumenta linearmente ao longo do tempo, chegando a $ 6 + 8,0 \ rad/s $ em $ t = 7,0 \ s $. Estamos considerando a rotação anti-horária como positiva.
Para resolver os itens a), b) e c), vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade escalar e deslocamento angular. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Item a): Aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa?
Primeiro, precisamos encontrar a aceleração angular $ \alpha $. Como a velocidade angular aumenta linearmente com o tempo, a aceleração angular é constante e pode ser calculada pela variação da velocidade angular dividida pelo intervalo de tempo.
A fórmula é:
Onde:
- $ \Delta \omega $ é a variação da velocidade angular.
- $ \Delta t $ é o intervalo de tempo.
Vamos calcular a variação da velocidade angular.
Passo 3
A velocidade angular inicial é $ \omega_0 = -6,0 \ rad/s $ e final é $ \omega_f = 6 + 8,0 = 14,0 \ rad/s $ em $ t = 7,0 \ s $.
Então,
Agora, calculamos a aceleração angular:
Como $ \alpha $ é positivo, a aceleração angular é positiva.
Passo 4
Item b): Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui?
A velocidade escalar está relacionada com a velocidade angular. Quando a aceleração angular é positiva, significa que a velocidade angular está aumentando ao longo do tempo.
Como calculamos que $ \alpha = 2,86 \ rad/s^2 $ é positiva durante todo o intervalo de $ 0 $ a $ 7,0 \ s $, a velocidade escalar da roda está aumentando nesse período.
Não há intervalo em que a velocidade escalar diminui, já que a aceleração foi constante e positiva durante todo o tempo considerado.
Passo 5
Item c): Qual é o deslocamento angular da roda para $ t = 7,0 \ s $?
Para encontrar o deslocamento angular $ \theta $, usamos a equação do movimento com aceleração angular constante:
Onde:
- $ \omega_0 = -6,0 \ rad/s $ (velocidade angular inicial)
- $ \alpha = 2,86 \ rad/s^2 $ (aceleração angular)
- $ t = 7,0 \ s $
Vamos calcular:
Resposta
a) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva.
b) A velocidade escalar da roda aumenta no intervalo de tempo de $ 0 $ a $ 7,0 \ s $ e não diminui em nenhum momento desse período.
c) O deslocamento angular da roda para $ t = 7,0 \ s $ é aproximadamente 28,07 rad.