Uma roda gira em torno de um eixo que está na direção z. A velocidade angular omegaz é -6,0 rad / s para t=0, aumenta linearmente no decorrer do tempo e é 6+8,0 m / s para t=7.0 s. Consideramos a rotação anti-horária como positiva.
a) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa?
b) Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui?
c) Qual é o deslocamento angular da roda para t+7,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que gira em torno de um eixo na direção $ z $. A velocidade angular $ \omega_z $ começa em z no tempo $ t = 0 $ e aumenta linearmente ao longo do tempo, chegando a $ 6 + 8,0 \ rad/s $ em $ t = 7,0 \ s $. Estamos considerando a rotação anti-horária como positiva.
Para resolver os itens a), b) e c), vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade escalar e deslocamento angular. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Item a): Aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva ou negativa?
Primeiro, precisamos encontrar a aceleração angular $ \alpha $. Como a velocidade angular aumenta linearmente com o tempo, a aceleração angular é constante e pode ser calculada pela variação da velocidade angular dividida pelo intervalo de tempo.
A fórmula é:
alpha
Onde:
  • $ \Delta \omega $ é a variação da velocidade angular.
  • $ \Delta t $ é o intervalo de tempo.
Vamos calcular a variação da velocidade angular.

Passo 3

A velocidade angular inicial é $ \omega_0 = -6,0 \ rad/s $ e final é $ \omega_f = 6 + 8,0 = 14,0 \ rad/s $ em $ t = 7,0 \ s $.
Então,
omega0 = -6,0 rad/s
omegaf = 6 + 8,0 = 14,0 rad/s
Agora, calculamos a aceleração angular:
t = 7,0 s
Como $ \alpha $ é positivo, a aceleração angular é positiva.

Passo 4

Item b): Em qual intervalo de tempo a velocidade escalar da roda aumenta? Diminui?
A velocidade escalar está relacionada com a velocidade angular. Quando a aceleração angular é positiva, significa que a velocidade angular está aumentando ao longo do tempo.
Como calculamos que $ \alpha = 2,86 \ rad/s^2 $ é positiva durante todo o intervalo de $ 0 $ a $ 7,0 \ s $, a velocidade escalar da roda está aumentando nesse período.
Não há intervalo em que a velocidade escalar diminui, já que a aceleração foi constante e positiva durante todo o tempo considerado.

Passo 5

Item c): Qual é o deslocamento angular da roda para $ t = 7,0 \ s $?
Para encontrar o deslocamento angular $ \theta $, usamos a equação do movimento com aceleração angular constante:
t = 7,0 s
Onde:
  • $ \omega_0 = -6,0 \ rad/s $ (velocidade angular inicial)
  • $ \alpha = 2,86 \ rad/s^2 $ (aceleração angular)
  • $ t = 7,0 \ s $
Vamos calcular:
theta
theta = omega0 t + 12 alpha t^2
omega0 = -6,0 rad/s
alpha = 2,86 rad/s^2

Resposta

a) A aceleração angular nesse intervalo de tempo é positiva.
b) A velocidade escalar da roda aumenta no intervalo de tempo de $ 0 $ a $ 7,0 \ s $ e não diminui em nenhum momento desse período.
c) O deslocamento angular da roda para $ t = 7,0 \ s $ é aproximadamente 28,07 rad.

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