Dado o campo potencial V=100 x z /(x^2+4) V no espaço livre: (a) Encontre D na superfície z=0. (b) Mostre que a superfície z=0 é uma equipotencial. © Assuma que a superfície z=0 é condutora e encontre a carga total na região definida por 0.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e quais conceitos vamos usar.
Enunciado em poucas palavras:
  • Têm um potencial no espaço livre
    ;V.
  • (a) Calcular o vetor densidade de fluxo elétrico sobre a superfície .
  • (b) Mostrar que é equipotencial.
  • © Assumir que virou um condutor e achar a carga total livre na região .
Conteúdo principal: eletrostática (campo , potencial , campo de deslocamento ), condições de contorno em condutores e integração para achar carga. Vamos usar:
  1. .
  2. no vácuo.
  3. Condição de contorno em condutor: .

Passo 2

Parte (a): achar nabla V=(0,,0,,tfrac100,xx^2+4) em E=(0,,0,,-tfrac100,xx^2+4) .
  1. Primeiro calculo o gradiente de boxed D(z=0) =l(0,,0,,-varepsilon0,tfrac100,xx^2+4r) :
    .
  2. Como , note que não há , então .
    • .
      Mas na superfície , todo termo tem fator , então .
    • . Em continua .
  3. Logo, em :
  4. Como , temos
  5. E no vácuo , logo

Passo 3

Parte (b): mostrar que V(x,y,0)=100,xcdot0x^2+4=0 é equipotencial.
Equipotencial significa constante ao longo da superfície. Basta ver que, para qualquer em ,
Ou seja, vale sempre zero ali – é constante. Logo é sim equipotencial.

Passo 4

Parte ©: carga total na região sigma = Drm fora!l|z=0^+!cdot n =Dz(z=0^+)times(+1), assumindo condutor em Q =integral duplaregião sigma,dA =integraly=-3^0!integralx=0^2! l(-varepsilon0,tfrac100,xx^2+4r),dx,dy .
  1. Em condutor, o campo interno é zero e a superfície armazena carga livre integral0^2xx^2+4,dx =tfrac12ln(x^2+4)|0^2 =tfrac12l[ln8-ln4r] =tfrac12ln2 .
  2. A condição de contorno diz Q =3;l[-50,varepsilon0ln2r] =-150,varepsilon0,ln2 onde é o vetor normal saindo do condutor (no sentido + ).
  3. De (a) .
    Então
  4. A carga total é ã
  5. Faço a integral em : Então
  6. Agora integro em de até , que é um fator de comprimento :

Resposta

(a)
(b) Em , para todo , então é equipotencial.
© (Coulombs).

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