Seja V=20 x^2 y z-10 z^2 V no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies equipotenciais em que V=0 e V=60 V. (b) Assuma que essas superfícies são condutoras e encontre a densidade superficial de carga no ponto da superfície V=60 V onde x=2 e z=1. Sabendo que 0 <= V <= 60 V é uma região que contém campo. © Encontre o vetor unitário nesse ponto que é normal à superfície e dirigido para a superfície V=0 V.

Passo 1

Beleza, então o exercício é de Eletrostática. A gente tem um potencial escalar dado por
V(x,y,z)=20,x^2,y,z-10,z^2(em vo
(a) pede as superfícies equipotenciais para e .
(b) supõe que essas superfícies são condutoras e quer a densidade de carga superficial no ponto da superfície onde e .
© por fim, quer o vetor unitário normal ao ponto dessa superfície e que aponte para a superfície .
Para isso vamos precisar de:
  • Entender equipotenciais (é só igualar a um valor).
  • Saber que em condutores com .
  • Calcular o gradiente e daí achar o vetor normal.

Passo 2

(a) Equipotenciais são só a equação 20,x^2,y,z - 10,z^2 = 0 Longrightarrow 2,x^2,y,z - z^2 = 0 valor.
Para 20,x^2,y,z - 10,z^2 = 60 Longrightarrow 2,x^2,y,z - z^2 = 6 :
Para :

Passo 3

(b) Primeiro a gente acha o ponto em que 2cdot(2)^2,ycdot1 - 1^2 = 6 Longrightarrow 8y - 1 = 6 Longrightarrow y = tfrac78 , nabla V =l(partialxV,;partialyV,;partialzVr) =l(40,x,y,z,;20,x^2,z,;20,x^2,y - 20,zr) e partialxV=40cdot2cdottfrac78cdot1=70, partialyV=20cdot4cdot1=80, partialzV=20cdot4cdottfrac78 -20cdot1=50 .
Então o ponto é .
Agora calculamos o gradiente
Em :
Logo .

Passo 4

Em condutores a carga superficial satisfa z
sigma = varepsilon0,En com vec E = -nabla V
e |nabla V|=raiz70^2+80^2+50^2 =raiz13800approx117.46;V/m é a componente normal (magnitude do gradiente aqui). Então
sigma approx 8,85times10^-12times117.46 approx1,04times10^-9;C/m^2
Como , usando :

Passo 5

© O vetor normal à superfície equipotencial é na direção de hat n = -nabla V|nabla V| =(-70,,-80,,-50)117.46 approx(-0,596,,-0,681,,-0,426) . Como queremos o normal que aponte para a região de (ou seja, para menor potencial), usamos o sentido de . O vetor unitário é

Resposta

(a) e .
(b)
©

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