Seja
no espaço livre. (a) Determine as equações das superfícies equipotenciais em que
e
. (b) Assuma que essas superfícies são condutoras e encontre a densidade superficial de carga no ponto da superfície
onde
. Sabendo que
é uma região que contém campo. © Encontre o vetor unitário nesse ponto que é normal à superfície e dirigido para a superfície
.
Passo 1
Beleza, então o exercício é de Eletrostática. A gente tem um potencial escalar dado por
(a) pede as superfícies equipotenciais para
e
.
(b) supõe que essas superfícies são condutoras e quer a densidade de carga superficial no ponto da superfície
onde
e
.
© por fim, quer o vetor unitário normal ao ponto dessa superfície e que aponte para a superfície .
Para isso vamos precisar de:
(b) supõe que essas superfícies são condutoras e quer a densidade de carga superficial
© por fim, quer o vetor unitário normal ao ponto dessa superfície e que aponte para a superfície
Para isso vamos precisar de:
- Entender equipotenciais (é só igualar
a um valor). - Saber que em condutores
com . - Calcular o gradiente
e daí achar o vetor normal.
Passo 2
(a) Equipotenciais são só a equação
valor.
Para :
Para
Para
:
Passo 3
(b) Primeiro a gente acha o ponto em que
,
e
.
Então o ponto é
.
Agora calculamos o gradiente
Agora calculamos o gradiente
Em
:
Logo
.
Passo 4
Em condutores a carga superficial satisfa z
e
é a componente normal (magnitude do gradiente aqui). Então
Como
, usando
:
Passo 5
© O vetor normal à superfície equipotencial é na direção de
. Como queremos o normal que aponte para a região de
(ou seja, para menor potencial), usamos o sentido de
. O vetor unitário é
Resposta
(a)
e
.
(b)
©
(b)
©