Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(e^y) imath+(x e^y+e^z) jmath+(y e^z) k e a curva parametrizada C, sendo o segmento de reta que une os pontos (0,2,0) e (4,0,3), faça o que se pede:
Determine uma função f tal que nabla f=F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = (e^y) imath + (x e^y + e^z) jmath + (y e^z) k e uma curva reta que une os pontos (0,2,0) e (4,0,3). O que a gente precisa fazer é encontrar uma função f tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial F, ou seja, nabla f = F.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa nabla f = F. O gradiente de uma função f(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x ) imath + ( partial fpartial y ) jmath + ( partial fpartial z ) k
Então, queremos que:
partial fpartial x = e^y, partial fpartial y = x e^y + e^z, partial fpartial z = y e^z

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x para encontrar uma parte da função f. Integraremos partial fpartial x = e^y:
f(x, y, z) = integral e^y , dx = e^y x + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que depende apenas de y e z, já que a derivada em relação a x desapareceu após a integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação: partial fpartial y = x e^y + e^z. Sabemos que f(x, y, z) = e^y x + g(y, z), então:
partial fpartial y = e^y x + partial gpartial y = x e^y + e^z
Podemos igualar as expressões:
e^y x + partial gpartial y = x e^y + e^z implies partial gpartial y = e^z

Passo 5

Agora, vamos integrar partial gpartial y = e^z em relação a y:
g(y, z) = integral e^z , dy = e^z y + h(z)
Aqui, h(z) é uma função que depende apenas de z, já que a derivada em relação a y desapareceu após a integração.

Passo 6

Substituindo g(y, z) na expressão de f, temos:
f(x, y, z) = e^y x + e^z y + h(z)
Agora, usamos a terceira equação: partial fpartial z = y e^z. Calculando a derivada de f em relação a z:
partial fpartial z = e^z y + d hd z = y e^z
Igualando as expressões:
e^z y + d hd z = y e^z implies d hd z = 0
Isso significa que h(z) é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que qualquer constante adicionada a f não afeta o gradiente.

Resposta

A função f que satisfaz nabla f = F é:
f(x, y, z) = e^y x + e^z y

Exercícios relacionados