Dado o campo vetorial
e a curva parametrizada
, sendo o segmento de reta que une os pontos
e
, faça o que se pede:
Determine uma função
tal que
.
Determine uma função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva reta que une os pontos
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar uma função
tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
Então, queremos que:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar uma parte da função
. Integraremos
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, já que a derivada em relação a
desapareceu após a integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação:
. Sabemos que
, então:
Podemos igualar as expressões:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada em relação a
desapareceu após a integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Agora, usamos a terceira equação:
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando as expressões:
Isso significa que
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que qualquer constante adicionada a
não afeta o gradiente.
Resposta
A função
que satisfaz
é: