Determine
onde
e
é a curva formada pelo segmento de reta de
a
, seguido pelo segmento de reta de
a
, seguido pelo segmento de reta de
a
e seguido pelo um quarto de círculo de
a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. A matéria que estamos usando aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como parametrizar cada segmento da curva
e depois calcular a integral em cada parte.
Passo 2
Vamos começar identificando a curva
. Ela é composta por quatro partes:
- Um segmento de reta de
a . - Um segmento de reta de
a . - Um segmento de reta de
a . - Um quarto de círculo de
a .
Precisamos parametrizar cada um desses segmentos para calcular a integral de linha em cada parte.
Passo 3
Vamos parametrizar o primeiro segmento de reta de
a
. Como estamos movendo apenas na direção do eixo
, podemos definir:
Aqui, quando
,
e quando
,
.
Passo 4
Agora, parametrize o segundo segmento de reta de
a
. Como estamos indo em direção aos eixos
e
de forma igual, podemos escrever:
Aqui, quando
,
e quando
,
.
Passo 5
O terceiro segmento de reta vai de
a
. Vamos parametrizar com:
Assim, quando
,
e quando
,
.
Passo 6
Finalmente, o quarto segmento é um quarto de círculo de
a
. Podemos parametrizar esse arco usando funções trigonométricas:
Aqui, quando
,
e quando
,
.
Passo 7
Agora que temos todas as parametrizações, vamos calcular a integral de linha para cada segmento. A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dada por:
Vamos aplicar isso em cada segmento.
Passo 8
Segmento 1:
,
Primeiro, encontramos
.
Substituindo na função
:
Calculando o produto escalar:
Integral:
Passo 9
Segmento 2:
,
Primeiro, encontramos
.
Substituindo na função
:
Calculando o produto escalar:
Integral:
Passo 10
Segmento 3:
,
Primeiro, encontramos
.
Substituindo na função
:
Simplificando:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Integral:
Passo 11
Segmento 4:
,
Primeiro, encontramos
.
Substituindo na função
:
Simplificando:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever como:
Integral:
Resposta
Somando as integrais de cada segmento:
Então,