Determine integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(3 x^2 y z-3 y) imath+(x^3 z-3 x) jmath+(x^3 y+2 z) k e C é a curva formada pelo segmento de reta de (0,0,2) a (0,0,0), seguido pelo segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0), seguido pelo segmento de reta de (1,1,0) a (3,0,0) e seguido pelo um quarto de círculo de (3,0,0) a (0,3,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) ao longo de uma curva C. A matéria que estamos usando aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como parametrizar cada segmento da curva C e depois calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Vamos começar identificando a curva C. Ela é composta por quatro partes:
  1. Um segmento de reta de (0,0,2) a (0,0,0).
  2. Um segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0).
  3. Um segmento de reta de (1,1,0) a (3,0,0).
  4. Um quarto de círculo de (3,0,0) a (0,3,0).
Precisamos parametrizar cada um desses segmentos para calcular a integral de linha em cada parte.

Passo 3

Vamos parametrizar o primeiro segmento de reta de (0,0,2) a (0,0,0). Como estamos movendo apenas na direção do eixo z, podemos definir:
r1(t) = (0, 0, 2 - 2t), t in [0,1]
Aqui, quando t=0, r1(0) = (0,0,2) e quando t=1, r1(1) = (0,0,0).

Passo 4

Agora, parametrize o segundo segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0). Como estamos indo em direção aos eixos x e y de forma igual, podemos escrever:
r2(t) = (t, t, 0), t in [0,1]
Aqui, quando t=0, r2(0) = (0,0,0) e quando t=1, r2(1) = (1,1,0).

Passo 5

O terceiro segmento de reta vai de (1,1,0) a (3,0,0). Vamos parametrizar com:
r3(t) = (1 + 2t, 1 - t, 0), t in [0,1]
Assim, quando t=0, r3(0) = (1,1,0) e quando t=1, r3(1) = (3,0,0).

Passo 6

Finalmente, o quarto segmento é um quarto de círculo de (3,0,0) a (0,3,0). Podemos parametrizar esse arco usando funções trigonométricas:
r4(t) = (3 cos t, 3 sin t, 0), t in [0, pi2]
Aqui, quando t=0, r4(0) = (3,0,0) e quando t=pi2, r4(pi2) = (0,3,0).

Passo 7

Agora que temos todas as parametrizações, vamos calcular a integral de linha para cada segmento. A integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva r(t) é dada por:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Vamos aplicar isso em cada segmento.

Passo 8

Segmento 1: r1(t) = (0, 0, 2 - 2t), t in [0,1]
Primeiro, encontramos r,'1(t) = (0, 0, -2).
Substituindo na função F:
F(r1(t)) = (3 cdot 0^2 cdot 0 cdot (2-2t) - 3 cdot 0) imath + (0^3 cdot (2-2t) - 3 cdot 0) jmath + (0^3 cdot 0 + 2(2-2t)) k = (0, 0, 4 - 4t)
Calculando o produto escalar:
F cdot r,'1(t) = (0)(0) + (0)(0) + (4 - 4t)(-2) = -8 + 8t
Integral:
integral0^1 (-8 + 8t) , dt = [-8t + 4t^2]0^1 = (-8 + 4) - (0) = -4

Passo 9

Segmento 2: r2(t) = (t, t, 0), t in [0,1]
Primeiro, encontramos r,'2(t) = (1, 1, 0).
Substituindo na função F:
F(r2(t)) = (3 t^2 t cdot 0 - 3 t) imath + (t^3 cdot 0 - 3 t) jmath + (t^3 t + 2 cdot 0) k = (-3t, -3t, t^4)
Calculando o produto escalar:
F cdot r,'2(t) = (-3t)(1) + (-3t)(1) + (t^4)(0) = -6t
Integral:
integral0^1 (-6t) , dt = [-3t^2]0^1 = -3

Passo 10

Segmento 3: r3(t) = (1 + 2t, 1 - t, 0), t in [0,1]
Primeiro, encontramos r,'3(t) = (2, -1, 0).
Substituindo na função F:
F(r3(t)) = (3 (1 + 2t)^2 (1 - t) cdot 0 - 3 (1 - t)) imath + ((1 + 2t)^3 cdot 0 - 3 (1 + 2t)) jmath + ((1 + 2t)^3 (1 - t) + 2 cdot 0) k
Simplificando:
F(r3(t)) = (-3(1 - t), -3(1 + 2t), (1 + 2t)^3(1 - t))
Calculando o produto escalar:
F cdot r,'3(t) = (-3(1 - t))(2) + (-3(1 + 2t))(-1) + (1 + 2t)^3(1 - t)(0) = -6(1 - t) + 3(1 + 2t)
Simplificando:
-6 + 6t + 3 + 6t = -3 + 12t
Integral:
integral0^1 (-3 + 12t) , dt = [-3t + 6t^2]0^1 = (-3 + 6) - 0 = 3

Passo 11

Segmento 4: r4(t) = (3 cos t, 3 sin t, 0), t in [0, pi2]
Primeiro, encontramos r,'4(t) = (-3 sin t, 3 cos t, 0).
Substituindo na função F:
F(r4(t)) = (3 (3 cos t)^2 (3 sin t) cdot 0 - 3 (3 sin t)) imath + ((3 cos t)^3 cdot 0 - 3 (3 cos t)) jmath + ((3 cos t)^3 (3 sin t) + 2 cdot 0) k
Simplificando:
F(r4(t)) = (-9 sin t, -9 cos t, 27 cos^3 t sin t)
Calculando o produto escalar:
F cdot r,'4(t) = (-9 sin t)(-3 sin t) + (-9 cos t)(3 cos t) + (27 cos^3 t sin t)(0)
Simplificando:
27 sin^2 t - 27 cos^2 t
Usando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1, podemos reescrever como:
27 (sin^2 t - cos^2 t) = -27 cos(2t)
Integral:
integral0^pi2 -27 cos(2t) , dt = -27 [sin(2t)2]0^pi2 = -272 (sin pi - sin 0) = 0

Resposta

Somando as integrais de cada segmento:
-4 - 3 + 3 + 0 = -4
Então, integralC F cdot d r = -4

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