Determine a área da parte da superfície z=x^2+2 y que está acima do triângulo com vértices (0,0),(1,0) e ( 1,2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície dada por $ z = x^{2} + 2y $ que está acima de um triângulo com vértices em z = x^2 + 2y , (0,0) e (1,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área de uma superfície $ z = f(x, y) $ acima de uma região $ D $ no plano $ xy $. A fórmula que usamos é:
z = f(x, y) Á
Aqui, D e xy são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa função $ f(x, y) = x^{2} + 2y $:
f(x, y) = x^2 + 2y
partial fpartial x = 2x

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Área = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (2)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4 , dx , dy = integral duplaD raiz5 + 4x^2 , dx , dy Á

Passo 5

Agora, precisamos descrever a região $ D $ que é o triângulo com vértices em D , (0,0) e (1,0). Observando esses pontos, vemos que o triângulo é limitado por:
  • A linha vertical $ x = 1 $
  • A base no eixo $ y = 0 $ de $ x = 0 $ a $ x = 1 $
  • A linha que vai de (1,2) a x = 1 , que é simplesmente $ x = 1 $
Então, $ x $ varia de 0 a 1, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 2x $ (já que a inclinação da linha que forma o triângulo é 2).

Passo 6

Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Área = integralx=0^1 integraly=0^2x raiz5 + 4x^2 , dy , dx Á
Note que $ \sqrt{5 + 4x^{2}} $ não depende de $ y $, então podemos simplificar a integral interna.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa:
Área = integralx=0^1 2x raiz5 + 4x^2 , dx Á

Passo 9

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja $ u = 5 + 4x^{2} $, então:
u = 5 + 4x^2
Rearranjando, a integral fica:
du = 8x , dx Rightarrow x , dx = du8 Á

Passo 10

Agora, calculamos a integral de $ \sqrt{u} $:
raizu
Aplicando os limites de integração:
integral raizu , du = 23 u^3/2
Calculando $ 9^{3/2} $ e $ 5^{3/2} $:
14 [ 23 u^3/2 ]5^9 = 16 ( 9^3/2 - 5^3/2 )
9^3/2

Passo 11

Substituindo de volta:
16 (27 - 11.1803) = 16 times 15.8197 approx 2.6366

Resposta

A área da parte da superfície $ z = x^{2} + 2y $ acima do triângulo é aproximadamente 2,64 unidades de área.

Exercícios relacionados