Determine a área da parte da superfície
que está acima do triângulo com vértices
e ( 1,2 ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície dada por $ z = x^{2} + 2y $ que está acima de um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área de uma superfície $ z = f(x, y) $ acima de uma região $ D $ no plano $ xy $. A fórmula que usamos é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa função $ f(x, y) = x^{2} + 2y $:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 5
Agora, precisamos descrever a região $ D $ que é o triângulo com vértices em
,
e
. Observando esses pontos, vemos que o triângulo é limitado por:
- A linha vertical $ x = 1 $
- A base no eixo $ y = 0 $ de $ x = 0 $ a $ x = 1 $
- A linha que vai de
a , que é simplesmente $ x = 1 $
Então, $ x $ varia de 0 a 1, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 2x $ (já que a inclinação da linha que forma o triângulo é 2).
Passo 6
Com isso, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Note que $ \sqrt{5 + 4x^{2}} $ não depende de $ y $, então podemos simplificar a integral interna.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 9
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja $ u = 5 + 4x^{2} $, então:
Rearranjando, a integral fica:
Passo 10
Agora, calculamos a integral de $ \sqrt{u} $:
Aplicando os limites de integração:
Calculando $ 9^{3/2} $ e $ 5^{3/2} $:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A área da parte da superfície $ z = x^{2} + 2y $ acima do triângulo é aproximadamente 2,64 unidades de área.