Dado um campo vetorial
e o ponto P (4, 5, 2). Encontrar:
Componente escalar de
em Q na direção de
.
Componente escalar de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial $ \boldsymbol{G} = y, \boldsymbol{a}_x - 2,5,x, \boldsymbol{a}_y + 3, \boldsymbol{a}_z $ e um ponto $ P(4, 5, 2) $. Precisamos encontrar a componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ nesse ponto na direção de um vetor unitário $ \boldsymbol{a}_n = \frac{1}{3}(2,\boldsymbol{a}_x + \boldsymbol{a}_y - 2,\boldsymbol{a}_z) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor $ \boldsymbol{G} $ no ponto $ P(4, 5, 2) $. Substituindo $ x = 4 $, $ y = 5 $ e $ z = 2 $ na expressão de $ \boldsymbol{G} $:
Passo 3
Agora, temos o vetor $ \boldsymbol{G} $ no ponto $ P $:
E o vetor unitário $ \boldsymbol{a}_n $:
Passo 4
A componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ na direção de $ \boldsymbol{a}_n $ é calculada usando o produto escalar entre $ \boldsymbol{G} $ e $ \boldsymbol{a}_n $:
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Fazendo as multiplicações:
Passo 7
Somando os termos:
Resposta
A componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ na direção de $ \boldsymbol{a}_n $ é -2.