Dado um campo vetorial G=y a x-2,5 x ay+3 az e o ponto P (4, 5, 2). Encontrar:
Componente escalar de G em Q na direção de an=1 / 3 ( 2 boldsymbol a x+a y-2 az).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial $ \boldsymbol{G} = y, \boldsymbol{a}_x - 2,5,x, \boldsymbol{a}_y + 3, \boldsymbol{a}_z $ e um ponto $ P(4, 5, 2) $. Precisamos encontrar a componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ nesse ponto na direção de um vetor unitário $ \boldsymbol{a}_n = \frac{1}{3}(2,\boldsymbol{a}_x + \boldsymbol{a}_y - 2,\boldsymbol{a}_z) $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor $ \boldsymbol{G} $ no ponto $ P(4, 5, 2) $. Substituindo $ x = 4 $, $ y = 5 $ e $ z = 2 $ na expressão de $ \boldsymbol{G} $:
G

Passo 3

Agora, temos o vetor $ \boldsymbol{G} $ no ponto $ P $:
G
E o vetor unitário $ \boldsymbol{a}_n $:
P

Passo 4

A componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ na direção de $ \boldsymbol{a}_n $ é calculada usando o produto escalar entre $ \boldsymbol{G} $ e $ \boldsymbol{a}_n $:
G

Passo 5

Substituindo os valores:
G cdot an = 5 times (23) + (-10) times (13) + 3 times (-23)

Passo 6

Fazendo as multiplicações:
= 103 - 103 - 63

Passo 7

Somando os termos:
= (103 - 103) - 63 = 0 - 2 = -2

Resposta

A componente escalar de $ \boldsymbol{G} $ na direção de $ \boldsymbol{a}_n $ é -2.

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