Determine a transformada de Laplace das seguintes funçóes
a) e^-2 t cos 3 t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $. Esse problema está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas básicas da Transformada de Laplace e como aplicar a linearidade e as propriedades de deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Isso basicamente transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que queremos transformar: $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $. Aqui, $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside, que basicamente garante que a função é zero para $ t < 0 $. Como a Transformada de Laplace já considera $ t \geq 0 $, podemos focar em $ e^{-2 t} \cos 3 t $.

Passo 4

Existe uma fórmula específica para a Transformada de Laplace de uma função do tipo $ e^{a t} \cos(b t) $. A fórmula é:
e^a t cos(b t)
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 3 $. Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo $ a = -2 $ e $ b = 3 $ na fórmula, temos:
a = -2
Simplificando os sinais:
b = 3

Passo 6

Então, a Transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $ é:
e^-2 t cos 3 t , u(t)

Resposta

A Transformada de Laplace de $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $ é:
e^-2 t cos 3 t , u(t)

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