Determine a transformada de Laplace das seguintes funçóes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $. Esse problema está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas básicas da Transformada de Laplace e como aplicar a linearidade e as propriedades de deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Isso basicamente transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que queremos transformar: $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $. Aqui, $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside, que basicamente garante que a função é zero para $ t < 0 $. Como a Transformada de Laplace já considera $ t \geq 0 $, podemos focar em $ e^{-2 t} \cos 3 t $.
Passo 4
Existe uma fórmula específica para a Transformada de Laplace de uma função do tipo $ e^{a t} \cos(b t) $. A fórmula é:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 3 $. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 5
Substituindo $ a = -2 $ e $ b = 3 $ na fórmula, temos:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Então, a Transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $ é:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ e^{-2 t} \cos 3 t , u(t) $ é: