Dado o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x), calcule:
(a) \operatorname{rot} \mathbf{F}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dado o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) = (x y,\; y z,\; z x).
  • A pergunta (a) pede calcular \operatorname{rot}\mathbf{F} (o rotor — também chamado de curl — do campo).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Componentes do campo: P(x,y,z)=x y, Q(x,y,z)=y z, R(x,y,z)=z x.

Passo 2

O que é \operatorname{rot}\mathbf{F} e como calculá-lo na prática:
  • Definição operacional (em coordenadas cartesianas): se \mathbf{F}=(P,Q,R), então
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix}.
  • Aqui \nabla=(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z). Cada parcial significa: diferenciar a função indicada em relação àquela variável mantendo as outras constantes.
  • Dica prática: trate x,y,z como independentes; ao derivar em relação a x veja y,z como constantes, etc. Exemplos simples de regras usadas: \partial(xy)/\partial x = y e \partial(xy)/\partial y = x; \partial(zx)/\partial y = 0 porque zx não depende de y.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (usando P=x y,\;Q=y z,\;R=z x):
  1. Primeira componente: \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (z x)}{\partial y}=0 porque z x não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (y z)}{\partial z}=y (tratando y como constante).
  • Portanto a primeira componente vale \displaystyle 0 - y = -y.
  1. Segunda componente: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (x y)}{\partial z}=0 porque xy não depende de z.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (z x)}{\partial x}=z (tratando z como constante).
  • Portanto a segunda componente vale \displaystyle 0 - z = -z.
  1. Terceira componente: \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (y z)}{\partial x}=0 porque yz não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x y)}{\partial y}=x.
  • Portanto a terceira componente vale \displaystyle 0 - x = -x.

Passo 4

Juntando as componentes obtidas, o rotor do campo tem, coordenada a coordenada, os valores que encontramos:
  • componente x: -y,
  • componente y: -z,
  • componente z: -x.
Se quiser uma forma compacta, isso é - (y,z,x), mas a forma em componentes é mais clara para conferir.

Resposta

\operatorname{rot}\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\,-z,\,-x)

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