Dado o campo vetorial
, calcule:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede para calcular
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A componente
. - A componente
. - A componente
. - O objetivo é encontrar o divergente do campo, isto é, um escalar que envolve derivadas parciais das componentes.
Passo 2
Definição e interpretação do divergente (aula rápida e prática).
O divergente de um campo vetorial em coordenadas cartesianas é dado por
O divergente de um campo vetorial
Explicando cada parte:
é a derivada parcial da primeira componente em relação a
, mantendo
e
fixos;
deriva a segunda componente em relação a
, mantendo
e
fixos; e
deriva a terceira componente em relação a
, mantendo
e
fixos. Na prática, calcula-se cada derivada parcial separadamente e soma-se os resultados.
Passo 3
Calcular
com explicação detalhada.
Temos . Ao derivar em relação a
,
é tratado como constante. A regra básica é que a derivada de
é
e a constante
multiplica o resultado. Logo,
Temos
Comentário extra: isso é igual ao caso de derivar
onde
é constante; aqui
.
Passo 4
Calcular
com explicação.
Temos . Ao derivar em relação a
,
é constante, portanto
Temos
Mesma ideia do passo anterior: trata-se de derivar uma expressão linear em
com coeficiente
.
Passo 5
Calcular
com explicação.
Temos . Ao derivar em relação a
,
é constante, então
Temos
Passo 6
Somar as derivadas parciais para obter o divergente. Usando a fórmula do Passo 2 e os resultados dos Passos 3–5:
Organizando de forma usual (ordem
):