Dado o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x), calcule:
(b) \operatorname{div} \mathbf{F}

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(x y,\;y z,\;z x) e pede para calcular \operatorname{div}\mathbf{F}.
Informações relevantes dadas:
  • A componente F_1(x,y,z)=x y.
  • A componente F_2(x,y,z)=y z.
  • A componente F_3(x,y,z)=z x.
  • O objetivo é encontrar o divergente do campo, isto é, um escalar que envolve derivadas parciais das componentes.

Passo 2

Definição e interpretação do divergente (aula rápida e prática).
O divergente de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) em coordenadas cartesianas é dado por
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explicando cada parte: \frac{\partial F_1}{\partial x} é a derivada parcial da primeira componente em relação a x, mantendo y e z fixos; \frac{\partial F_2}{\partial y} deriva a segunda componente em relação a y, mantendo x e z fixos; e \frac{\partial F_3}{\partial z} deriva a terceira componente em relação a z, mantendo x e y fixos. Na prática, calcula-se cada derivada parcial separadamente e soma-se os resultados.

Passo 3

Calcular \frac{\partial F_1}{\partial x} com explicação detalhada.
Temos F_1(x,y,z)=x y. Ao derivar em relação a x, y é tratado como constante. A regra básica é que a derivada de x é 1 e a constante y multiplica o resultado. Logo,
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Comentário extra: isso é igual ao caso de derivar a x onde a é constante; aqui a=y.

Passo 4

Calcular \frac{\partial F_2}{\partial y} com explicação.
Temos F_2(x,y,z)=y z. Ao derivar em relação a y, z é constante, portanto
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z.
Mesma ideia do passo anterior: trata-se de derivar uma expressão linear em y com coeficiente z.

Passo 5

Calcular \frac{\partial F_3}{\partial z} com explicação.
Temos F_3(x,y,z)=z x. Ao derivar em relação a z, x é constante, então
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z x)=x.

Passo 6

Somar as derivadas parciais para obter o divergente. Usando a fórmula do Passo 2 e os resultados dos Passos 3–5:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}=y+z+x.
Organizando de forma usual (ordem x+y+z):
\operatorname{div}\mathbf{F}=x+y+z.

Resposta

\operatorname{div}\mathbf{F}=x+y+z

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